Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
N
2 kn (X) г" - (1 + qzf (1 - pzf~x. (6)
я=0
Явное выражение указывает на связь с многочленами Якоби, Сеге (1962, стр. 48) показал (предельные) связи с многочленами Эрмита и многочленами Шарлье.
Частный случай р q = у изучали Oram (1882) и Qreenleal (1932). Многочлены
изучены а работах: Meixner (1934), QottIieb (1938, ? = 1) и других (см. ссылки в работе: Hahn, 1949, стр. 32) Существуют обобщения многочлена Кравчука
Iflmn {xr, -W1 (ж). (8)
Явное выражение, функция скачков, свойство ортогональности: ч„(х\ ?, c)«(?+*)B^(-n, 1 —?—я—¦*; y)-
-©.''(-я,I-7). (9)
m„
^w-ifHk-' <10>
2 J W mn (*; Р. с) m (*: ?. C) = ЯІ (?)„ C-" (1 - c)-? 6al, tt > о, о < C < l.
JtmQ
GD Mis] 10.2S. МНОГОЧЛЕНЫ ШАРЛЬВ 223
Симметрия, производящая функция:
№Хг т„ (дс; ?, с) - (?)„ тх (я; Р, е), (12)
; 2 <*ї P' с> 7Г = (1 -7)'(1 ~г)~Х~*' Ul<mln(l, |«|). (13)
л-0
Явное выражение (9) приводит к следующим связям с многочленами Якобн, Лагерра и Шарлье: «
тп (х-, Р. с) - Ш Pf'^ (1-і). (14)
Hm тп (-^1-; р, с) - п\ Ig"1 (х), (15)
jJmo [(-1)" т„ р, j)] - я' ЦТ* M - (- «)" сп (.к; а). (16)
Рекуррентные соотношения и уравнения в конечных разностях привел Meixner (1934).
10.25. Многочлены Шарлье
Многочлены, введенные Шарлье, являются ортогональными много членами, связанными с распределением Пуассона в теории вероятностей Они были изучены многими авторами, среди которых упомянем Мейкснера (Meixner, 1934, 1938) и Деча (Doetsch, 1433). Относительно перечисления их свойств см. Сеге (1962, п. 2.8 1) и Jordan (1947, п. 148) Функция скачков, определение, свойство ортогональности:
j(x)*e~a^, a>oi jt-o, 1. 2,..., (1)
je! Г ах~" 1
(2)
S J W ?rn (X-, а) Ca (X а) - а~п я' Srn. (3
х-0
Явные выражения, производящая функция
ГШ О
сЛГ, *)- xIxZaJy" ф<~я- *-«+!: W
«о
Yiс»<*' (1 -J)x» |*< <«• » 224 ГЛ. 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 110.11
Бнлинейная производящая функция была указана в работе: ЛЦіхпеї (Симметрия, рекуррентные соотношения, конечные разности:
сп (дс; a) = сх (л; а), (7)
асп+, (дс; а) + (х — п — а) сп (х-, а) + пс„(х\ а)=»0, (8)
ася(дс4-1; л)4-(л —* —а)ся(дс; а)+дсс„(дс—1, в)=»0. • (9) Ив явного выражения (5) вытекает связь с многочленамв Лагерра
сп (х-, а)-(-а)~я лі Lxn-" (а). (10)
Связь с многочленами Мейкснера указана выше, в 10.24 (16). ГЛАВА И
СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ •)
11.1. Предварительные замечания
11.1.1. Векторы, Точки в (р-\- 2)-мериом евклидовом пространстве (/>*= 1, 2, 3, ...) мы будем задавать с помощью векторов
S = (¦*!» хр+г) (1)
и будем писать и ($) для функции и, зависящей от де,, х2, ..., хр+2. Длину вектора { обозначим через ||j|| или г. В явном виде она записывается так:
I Sll - Г - V X21+ 4+ ... +4+2-
В п. 11.7 нам встретятся как векторы с тремя, так н векторы с четырьмя -компонентами. Мы будем нх записывать в виде ||j||3, ||ц||4, указывая число компонент векторов Е, Ч соответственно.
Точки единичной гиперсферы й, то есть гиперсферы г*т 1 В (р 2)-мерном пространстве, задаются единичными векторами
6» (2)
Мы будем использовать буквы g, Т), ? для единичных вектороц, имеющих р-1-2 компоненты.
Если Ij = (У!, у2, ..., ур+2) является вторым вектором, то определим скалярное произведение ; и ; формулой
(S. Ч) = *іУі + *2У2 + • • • + хр+2ур+2. (3)
Если единичные векторы I, т] образуют угол в, то имеем (I, ц) = cos 9.
В дальнейшем мы будем пользоваться матрицами (то есть линейнымв операторами, применяемыми к векторам). С теорией матриц можно познакомиться, например, по книгам: И. М. Гельфанд (1951), А. И. Мальцев (1966) в Ф. Р. Гантмахер (1954). Мы будем пользоваться лишь квадратными матрицами. Если M — матрица с общим элементом (j, k = 1, 2.....P-+-2),
то обозначим определитель матрицы M следующим образом:
det M = det ц...
*) При подготовке этой главы были использованы неопубликованные записи курса, прочитанного Герглотцем (О. Herglotz). Идеи и разработка многих доказательств также принадлежат ему. 226 ГЛ. 11. СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ .МНОГОЧЛЕНЫ Ill4S
Единичная матрица будет обозначаться через /; матрицу О называют ортогональной, если
О' 0=1, (4)
где через (У обозначена транспонированная матрица О. Отсюда легко следует, что ОСУ также является единичной матрицей. Вектор, получающийся при применении матрицы О или M к вектору будет обозначаться соответственно Oj1 Afj. Матрица О ортогональна тогда и только тогда, когда для всех j выполняется равенство
(Ot, Oj) = (j, у). (5)
Матрицу / можно определить тем свойством, что /|=>| для всех j.
Функция, зависящая от jkb jt2, . ., Xpi будет называться функцией от j и обозначаться через / (j). (Функции, зависящие от двух или большего числа векторов, определяются аналогичным образом.)
Функция / (j) называется ортогонально-инвариантной, если для всех j и всех ортогональных матриц О имеем
/(Os) -/(!)¦ (6)
Аналогично функция, зависящая от двух векторов, называется ортогонально-инвариантной, если для всех j, р и всех ортогональных матриц О выполняется условие /(Oj?, Oij) = /(j, t)).
