Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 0. Каждое унитарное представление T сепарабель-ной локально компактной группы G является прямым интегралом неприводимых представлений
T= J 7 (Я) dp (X), (6)
л
где (Л, р) — некоторое пространство с мерой и T (Я) неприводимы.
Если G имеет тип I, то разложение в (6) по существу единственно.
(Доказательство см. в [554], гл. 1, § 4.)
Теперь мы разработаем общий формализм разложения унитарного представления g -»- Te группы G на неприводимые компоненты. Этот формализм базируется на теореме фон Неймана о диагональных и разложимых операторах (см. приложение Б.З).
Основные шаги разложения приводимого унитарного представления Tg на неприводимые компоненты следующие:
1. Рассматриваем «*»-алгебру T операторов, порожденных представлением Te:
T = (Ii^rQec).
2. Находим абелеву «*»-подалгебр у .<А- в коммутанте 7" алгебры Т.
3. Применяем теорему фон Неймана и получаем разложение пространства H в прямой интеграл гильбертовых пространств
II < > И = j H (/,) dp (л), (7)
которое осуществляется алгеброй 190
Г лава 5
Поскольку Tg лежит в si', то Tg — разложимый оператор. Поэтому
Tg-~Tg = \тя (X) dp (X). (8)
Ясно, что если Si1 и M2i—две абелевы «*»-алгебры в T' и sixczsi2, то разложение j T (X2) dp (X2), которое осуществляется алгеб-
A2
рой si2, является усилением разложения j T (Xx)dp (X1), которое
a1
осуществляется алгеброй Si1. Можно ожидать наиболее эффективного разложения в случае, когда si — абелева максимальная «*»-алгебра в 7". Это составляет содержание следующей существенной теоремы.
Теорема 1 (Маутнер). Пусть G — сетрабельная локально компактная группа. Пусть g—>- Ts — непрерывное унитарное представление группы G в гильбертовом пространстве Н. Пусть si- — абелева «*»-алгебра в коммутанте T' для Т. Тогда
1) существует разложение HuTe прямой интеграл, заданное формулами (4) и (5) соответственно,
2) T (X) почти всюду неприводимо относительно р в H (К) тогда и только тогда, когда si максимальна в T'.
Набросок доказательства. Разложения (7) и (8) для H и T в прямой интеграл (5) являются прямым следствием теоремы фон Неймана (см. приложение Б.З). Теперь покажем, что максимальность si предполагает по существу неприводимость T (X).
Пусть A0 cz А — множество с положительной мерой р (A0) >> ї> 0. Для каждого X0 ? A0 пусть В (X0) / I (X0) — ограниченный оператор в H (K0), который коммутирует с каждым Tg (X0), g (] G-Для X ? А — A0 положим В (X) = 0. Можно показать, что существует измеримое операторное поле В (X). Положим В :.
= j В (X)dp (X). Поскольку В не диагонален в H = j H (X)dp (X),
Ac А
то В si; но так как В разложимый оператор, то В Є ¦ Итак, алгебра si U В является коммутативной подалгеброй в T' и si U В содержит si, не совпадая с ней. Поэтому si не максимальна в T'. Следовательно, максимальность si предполагает неприводимость представлений T (X) для почти всех X относительно р. Чтобы показать обратное, положим, что
T= J 7(?,) dp (X), л
где для почти всех X относительно р представления T (X) непрн-водимы в H (X). Если коммутативная алгебра ,W- не максимальна, Предстсв.існия групп
191
то существует ортогональный нетривиальный проектор E ? (7" —¦
— s4), коммутирующий с М. Следовательно,
E= |'?(X)dp(X),
Ло
где E (X) — ненулевой проектор в H (К) для X из некоторого множества A0 с р (A0) >0. Так как E ? 7", то теперь мы имеем
? (X) 7 (X) = T(K)E(K).
Поскольку для почти всех X относительно P T (X) неприводимы, то E (X) = /, и мы приходим к противоречию. Следовательно, M должна быть максимальной.
(Полное доказательство см. в [554].)
Теорема Маутнера играет важную роль в теории представлений групп и в ее приложениях.
Следующая существенная теорема, которая является прямым следствием теоремы Маутнера, показывает, что топологическая группа всегда имеет нетривиальные неприводимые представления.
Теорема 2 (Теорема Гельфанда—Райкова). Пусть G — се-парабельная топологическая группа. Тогда для каждых двух элементов glt g2 Є G, gi г g2, существует неприводимое представление g Tg группы G, такое, что Tgl h Tgs.
Доказательство. Пусть Tl — левое регулярное представление группы G в L2 (G). Поскольку Tl является точным, то Tgl =h Ф T^. Пусть
TLg =J Tg (X) dp (X) л
— разложение в прямой интеграл представления Tl. Если Tg1 (X) = Tgz (X) для почти всех X относительно р, X ? А, то Tgl равнялось бы Tg2t что приводит к противоречию.
Теорема Гельфанда—Райкова была доказана (с помощью положительно определенных функций) в начале развития теории представлений групп в 1943 г. Она представляет собой один из наиболее важных результатов в теории представлений. В случае абелевых групп теорема 2 дает:
Следствие. Пусть G — абелева сепарабельная топологическая группа. Для каждых gx /- g2 существует характер у_ (g), такой, что % Ы --г % (g2).
Следует подчеркнуть, что выбор максимальной коммутативной алгебры M в 7' не единствен. Явный пример выбора различных унитарно неэквивалентных множеств коммутирующих операторов в 7' дается в (9.6.11). 192
