Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
I 2 X 1 2 %
C{T®T)Cl = @m%T, C(?®?) = ©mx?. (13)
Матричные элементы оператора С называются «коэффициентами
X
Клебша—Гордана». Они позволяют выразить базисные элементы et
X X
пространства E неприводимого представления T через тензор-1 2
ный базис Ci ® ск. Коэффициенты Клебша—Гордана играют для групп физических симметрий (таких как группа Лоренца или группа Пуанкаре) существенную роль в физике частиц.
§ 6. Разложение унитарных представлений в прямой интеграл
Пусть g -у Tg — унитарное представление группы физической симметрии в гильбертовом пространстве Я. В приложениях в большинстве случаев представление T приводимо. Однако только неприводимые компоненты T (Я) представления T имеют более прямое физическое значение. Поэтому очень важно иметь формализм, который дает описание представления T в терминах его неприводимых компонент.
В общем разложение заданного приводимого унитарного представления в прямую сумму неприводимых представлений невозможно, и следует использовать понятие прямого интеграла пред- Предстсв.існия групп
187
ставлений и прямого интеграла соответствующих пространств представлений. Мы иллюстрируем это на простом примере.
Пусть G — группа трансляций вещественной прямой R, и пусть g -»- Tg — унитарное представление группы G в гильбертовом пространстве Я = L2 (R), заданное формулой
TgU(X) = U(X-^g). (1)
В силу леммы Шура каждое неприводимое представление группы G одномерно (см. утверждение 6.1). Поэтому представление (1) приводимо. Предположим, что H1 — одномерное инвариантное подпространство в Я. Тогда для каждого U1 ? H1 имеем
TgU1 (х) = U1 (х + g) = X1 (g) U1 (х).
Поэтому U1 (х) должна быть экспоненциальной функцией. Но U1 = 0 является единственной экспоненциальной функцией в L2 (R1). Следовательно, H1 = |0|. Итак, Я не содержит одномерных инвариантных подпространств. Однако если мы перейдем к прямому интегралу гильбертовых пространств, то найдем одномерные пространства, в которых реализуются неприводимые представления группы G. В самом деле, пусть А = іd/dx — самосопряженный оператор в Я. Используя спектральную теорему, мы видим, что Л индуцирует разложение пространства Я в прямой интеграл (см. приложение Б.З)
H^H= \ H(X) йц(Х), (2)
л
где А — спектр оператора A, H(X) — одномерные гильбертовы пространства, a dp (X) — спектральная мера, сопоставляемая
с А. Каждый элемент и из Я является вектор-функцией и = = \и (X), и (X) ? H (Х)\. В рассмотренном случае связь между элементами и {X) ? H (X) и и (х) ? H задается обычным преобразованием Фурье
+ OO
и (X) = J exP 11 (х) d-v.
— OO
Мы получаем закон преобразования элементов и (X) из Я (X), взяв преобразование Фурье от Tr и (х):
+со
(Tgii)(X) =у=- f ехр (iLv) (Tgii) (х) d* = ехр( AXg) и (X).
Поэтому каждое гильбертово пространство Я (X) в прямом инте-трале (2) является инвариантным пространством для Tg (X). 188
Г лава 5
Итак, разложение (2) пространства Н, индуцированное оператором А, влечет разложение
Tg-Tg= Jrg (X) dp (X) (3)
представления T в прямой интеграл неприводимых представлений. Заметим, что оператор А (или более точно, его спектральные проекторы E (X)) лежит в коммутанте 7" представления Т. Итак, разложения (2) и (3) могут рассматриваться как разложение в прямой интеграл, которое осуществляется абелевой «*»-алгеброй 7".
Теперь мы даем общее определение прямого интеграла представлений. Пусть (А, р) — борелево пространство с мерой р, и пусть
H - I H ('/.) сії. (X)
л
— прямой интеграл гильбертовых пространств (см. приложение Б, § 3). Предположим, что для каждого к ? Л определен оператор T (X) на H (X). Мы говорим, что операторное поле X ->- T (X) интегрируемо тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
1. \Т (X)} равномерно ограничено, т. е. существует число M, такое, что
(I T (к) Ця щ < M для любого XgA.
2. Для любых и, и ? H комплекснозначная функция X -> -*¦ (Т (X) и(к), V (Х))? р-измерима.
Теперь мы можем определить оператор T на Н, положив
Tu = J 7 (X) и (X) dp (X), где и = J и (X) dp (X). (4) л л
Условия 1 и 2 гарантируют, что T — ограниченный оператор
на Н, т. е. Ти Є H для и f H и Il TIU < М.
^ 11 "н
Пусть G — группа, а Л — борелево пространство с мерой р. Предположим, что для каждого X f Л задано унитарное представление T (X) группы GbH (к). Мы говорим, что поле представлений X T (X) интегрируемо, тогда и только тогда, когда для любого g a G интегрируемо операторное поле X Te (X). Так как || Tg (X) || = 1, то поле представлений T6 (X) интегрируемо тогда и только тогда, когда функция (Tg (к)и (к), и (к))} р-инте-грируема. Предстсв.існия групп
189
Для любого интегрируемого поля представлений мы можем определить оператор
Ts - j Tfl (к) (