Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
G отождествляется в физике с импульсным пространством Р, 202
Г лава 5
которое изоморфно M4. Поэтому формула (4) может быть записана в виде
Tx = J ехр (iхр) dE (р), хр = XVpll, (8)
р
где E (•) — спектральная мера на импульсном пространстве. Коммутирующее множество самосопряженных операторов, определенное формулой (7), в этом случае совпадает с
Pll = JplltIE(P), р = 0, 1,2, 3, (9)
р
и представляет собой четыре-вектор энергии-импульса.
§ 3. Комментарии и дополнения
А. Теоремо, дуальности Понтрягина
Опишем здесь важное свойство представлений абелевых локально компактных групп.
Заметим сначала, что отображение G^x-*- (х, х) определяет непрерывную функцию на G, которая удовлетворяет соотношениям (1.3') и (1.6'). Поэтому каждый элемент х ? G опреде-
ляет характер х группы G. Следовательно, G cz G, где G — множество всех х. Следующая теорема утверждает, что не существует
других характеров на G, кроме тех, которые определяются элементами из G.
TeOPEMA 1. Отображение G Э х -> х ? G является топологическим изоморфизмом
GssG.
(Доказательство см. в [405], § 24.)
Пример 1 дает две простейшие иллюстрации дуальности Понтрягина.
Б. Комментарии
Теорема СНАГ обычно формулируется в операторном виде, заданном формулой (2.1). Следующая интересная форма этой теоремы, основанная на теореме Бохнера, была недавно дана Хьюиттом и Россом.
Теорема 2. Пусть T — непрерывное циклическое унитарное представление абелевой локально компактной группы G. Существу- Представления коммутативных групп
203
ет положительная мера v(-) на G, такая, что T унитарно эквивалентно следующему представлению:
Uxv(x) = x(x)v(x) = x(x)v(x), xQG, vQL2(G, v). (1) (Доказательство см. в [406], § 33.8.)
Теорема СНАГ была первоначально доказана Стоуном для G = Rn [786, 787]. Позже Наймарк в 1943 г., Амброуз в 1944 г. и Годеман в 1944 г. дали различные обобщения этой теоремы для произвольных абелевых локально компактных групп. Мы следуем здесь изложению, данному Мореном [574], гл. VI.
В. Гармонический анализ на локально компактных коммутативных группах рассматривается в гл. 14, § 1.
Г. Неразложимые представления
Дадим построение неразложимых представлений векторных групп, которые наиболее важны в приложениях. Пусть G = Rn. Формула
"1 у(рх) /?«}*-¦>Tje-ехр(i/>.v) 0 j
где рх = pkxk — скалярное произведение в Rn и у Q С, дает простейший пример неразложимого представления. Используя индуктивный метод, можно найти, что /г-мерное неразложимое представление группы Rn может быть взято в виде
R" 3 А- —> Ty = ехр (iрх) X 1 Чп-Лрх) Уп-,Уп-г(рф2---У-0^(рхГ-2 (РХТ~Х
1 у^p*) ^?2 W yW^f ^r1
X
1 Ъ(рх) ^ipxf
2
1 Tl (рх)
1
Эти представления неунитарны. Они используются для теоретико-группового описания нестабильных частиц (см. гл. 17, § 4).
Неразложимые представления других коммутативных групп могут быть построены подобным образом с помощью треугольных матриц. Например, неразложимое представление мультиплика- 204
Г лава 5
тивной группы комплексных чисел может быть взято в виде
Г1 Inzl
c^z-7Ho IJ-
§ 4. Упражнения
§ 1.1. Пусть Dn = {6 = (S1, ..., 6„), bk Є С} — мультипликативная группа комплексных чисел. Покажите, что отображение
6 —^ 5Сб = П |6ssfs+iPs6sfs, (1)
S=I
где ms — целые числа, a ps — вещественные числа, является характером группы Dn.
§ 1.2. Положите Ps ? С в формуле (1). Покажите, что в этом случае отображение (1) дает комплексный характер группы Dn.
§ 1.3. Постройте разрывное неприводимое унитарное представление группы G = R1.
Указание. Используйте базис Гамеля.
§ 1.4. Пусть G = N ху К, где N — коммутативна. Пусть п ->- Un и k ->- Vk — представления подгрупп NnK соответственно в пространстве Н. Каким условиям должно удовлетворять U, для того чтобы отображение (n, k) —>- UnVh было представлением группы G?
§ 3.1. Классифицируйте все конечномерные неразложимые представления группы G = R1.
§ 3.2. Классифицируйте все неразложимые представления группы R1 в гильбертовом пространстве.
§ 3.3. Классифицируйте все конечномерные неразложимые представления группы G = Rn. Глава 7
Представления компактных групп
§ 1. Основные свойства представлений компактных групп
Теория представлений компактных групп образует мост между сравнительно простой теорией представлений конечных групп и теорией представлений некомпактных групп. Большинство теорем для представлений конечных групп имеет прямой аналог для компактных групп, и эти результаты, в свою очередь, служат отправной точкой для теории представлений некомпактных групп.
Всюду в этой главе G будет обозначать компактную топологическую группу, а дх — инвариантную меру на G, нормированную на единицу. Под представлением группы G мы будем понимать сильно непрерывное представление в гильбертовом пространстве Н. Напомним, что, согласно (5.1.3), любое представление компактной топологической группы ограничено.
Покажем сначала, что в случае представлений компактных топологических групп мы можем без потери общности ограничиться анализом только унитарных представлений.
