Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
1) I(x1x2)(x)I=I, (5)
2) x1x2 (ху) = x1 (ху) х, (ху) = (x1x2) (x) (x1x2) (у). (6)
Более того, поскольку X'1 (х) = X (х), то G также абелева группа.
Пример 1. Г. Рассмотрим G = Rn как аддитивную векторную группу. Тогда каждый характер х (•) имеет вид
x (x) = ехр і (x1x1 H-----f- хпхп) = ехр [і (х - x)], x ? Rn. (7)
Итак, группа характеров G изоморфна G.
2°. Если G —- мультипликативная группа комплексных чисел X = ехр (iG), модули которых равны единице, то каждый характер имеет вид
x (х) = ехр (inG), п — целые числа. (8)
Итак, в этом случае G изоморфна аддитивной группе целых чисел. Если п — произвольное вещественное число, то характер (8) является многозначной функцией на G. Однако он является однозначным представлением накрывающей группы G = R1 для G.
В этих примерах группа характеров G также является локально компактной абелевой топологической группой. Можно показать, что это свойство имеет место для произвольных абелевых локально
компактных групп, если мы наделим G топологией равномерной сходимости на компактных множествах (см., например, [829],
§ 2д). Представления коммутативных групп
199
Чтобы использовать симметрию между G и G, мы вводим более симметрическое обозначение для характеров, положив х (х) = = (х, х). Тогда формулы (3)—(6) принимают вид
|(х,х)| = 1, (3')
(x1x2, х) = (хь х)(х2, х), (4')
(x, x1x2) = (х, x1xx, х2). (6')
Комплексный характер абелевой локально компактной группы G — это представление группы GbC.
§ 2. Теоремы Стоуна и СНАГ
Теперь мы выведем существенную теорему о разложении произвольного унитарного представления абелевой группы.
Теорема 1 (Теорема Стоуна, Наймарка, Амброуза, Годе-мана). Пусть T — унитарное непрерывное представление абелевой локально компактной группы G в гильбертовом пространстве Н.
Тогда на группе характеров G существует спектральная мера E ( •), такая, что1)
tx -- j (.v1 х)ае(х). (1)
G
Доказательство. Пусть « ( Я. Тогда функция х -> (Тхи, и) положительно определена. Поэтому, согласно теореме Бохнера,
А
существует конечная регулярная борелева мера рц и на G, такая, что
(Тхи, и)= j(x, x)dp„,„(x), в
и, в частности,
_[ Ф«,« = P11, U (G) = (и, и).
о
Используя полярное разложение, (Тхи, v) может быть записано как линейная комбинация выражений вида (Тхи', и'). Поэтому существует единственная комплексная мера р„_ v, такая, что
(Тхи, f) = j(x, x)dp„,r, (х).
G
') Свойства спектралыгой меры AE и спектральную теорию фон Неймана см. в приложеиии Б.З. 200
Г лава 5
Теперь фиксируем любое борелево множество В czG. Тогда рi,,v(B) является билинейным функционалом F~ (и, v) на Я, который эрмитов, так как
F- (и, V) = г, (В) = pD) „ (В) = Fg (v, и),
& H
и ограничен, так как
I F7i („, и) р < р„, „ (В) р„, „ (В) < Il и |р И V |р, (2)
В самом деле, для любого вещественного X положим
п' = г/ + Aplji „ (В) V.
Тогда
0 < р„<. и- (В) = р„, „ (В) + 2ХI р„, 0 (В) I2 + A21 р„. „ (В) I2 р„, „ (В), что предполагает
I ри,, (В) Г - Р„, и (В) рг, „ (В) I р,„ 0 (В) I2 < 0.
Отсюда следует (2).
Поэтому, согласно теореме Рисса, для каждого борелева множества В cz G существует оператор E (В) на Я, такой, что для любых U, V ? H имеем
(Е (В) и, і») = Fg(UtV) = р„, „ (В). (3)
Очевидно, что [Е (В)]* = E (В)\ более того, простое вычисление показывает, что
(Е (В) Тхи, V) = j (а-, а) (Е (сіх) и, V).
в
Следовательно, если для каждого борелева множества B1 положим Q (ZJ1) ЕЕ E (В n B1), то имеем
J (х, х) (Е (tlr) и, V) = J (х, a) (Q (dA) и, V) = (Е (В) Тхи, v) =
в а
= J (a, x)(E(B)E(dx)u, V).
с
Отсюда легко заключаем, что
E(Bf)B1) = E(B)E(B1). Представления коммутативных групп
201
Легко проверить, что операторная функция B^-E (В) удовлетворяет всем условиям, наложенным на спектральную меру (см. § 3 в приложении Б). Поэтому, согласно (3), мы имеем
(Ta-W1 v) = I (х, х) dp(litJ (A') = I (xt х) (Е (сіл) и, v).
G О
Из этого равенства следует справедливость теоремы 1.
В специальном, но очень важном случае абелевых векторных групп мы получаем следующую теорему.
теорема 2 (теорема Стоуна). Рассмотрим G = Rn как аддитивную векторную группу, и пусть T — унитарное] непрерывное представление группы G в гильбертовом пространстве Н. Тогда существует единственное множество попарно сильно коммутирующих самосопряженных операторов Vr1, ..., Yn, таких, что
п
Tx = П ехр (IXkYk). (4)
fc=i
Доказательство. В силу примера 1.1° группа характеров G
совпадает с Rn и (х, х) = ехр [i (X1X1 + ... + XnXr)]. Поэтому согласно (1) имеем
Ta= J ехр [i (X1Xj -1-----I-XnXn)] d?(x). (5)
Rn
Теперь, используя теоремы 4.1 (пункт 3) и 4.2 из приложения Б, получаем
п
Tx = П } ехр [ixfcxft] dE (х) = П } ехр [\xkxk\ dE (xk) =
fc=l Rn R1
= П ехр [іxkYk], (6)
где
AE(Xk)= ( d?(x), Yk -J xkAE(xk). (7)
я"-1
Пример 1. Пусть G = T3-1 — группа трансляций пространства Минковского M4, и пусть X -> Tx — унитарное представление группы G в гильбертовом пространстве Н. Дуальное пространство
