Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Барут А. -> "Теория представлений групп и ее приложения. Том 1" -> 72

Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 — М.: Мир, 1980. — 452 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapredstavleniyt11980.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 153 >> Следующая


і

2 Il KllCi Il2 == 2 ||(е<. TxU)(Txu, TllIi) (Гу и, et)dxdy =

і І G а

= І І 2 (Є/, TxU) (Тхи, Туи) (Туй, et)dxdу =

G G і

= II (Txu, Tyu) (Tyu, Тхи) dx dу < оо. (8)

G G

Замена порядка суммирования и интегрирования оправдана теоремой Лебега и тем, что

E I (eh Тхи) (TyU, I2 < ( E I (е„ TxU) I2 EI (ek, TyU) I2 у/2 = Il и f.

4°. Это свойство следует из спектральной теоремы Реллиха— Гильберта—Шмидта для компактных операторов (см. приложение Б.З).

Перейдем теперь к доказатепьству основной теоремы. Для всех векторов и Q Н, которые не ортогональны и, имеем (K1P, v) >•

0 [см. формулу (6) и ниже]. Таким образом, оператор Ku имеет по крайней мере одно отличное от нуля собственное значение, т. е. пространство H Q Hu не пустое.

Следовательно, мы показали, что пространство H Q H0 —

- E © H1 является прямой ортогональной суммой конечномер-

1

ных инвариантных подпространств Н;. Используя следствие 5.3.2, мы можем разбить каждое Hi в прямую ортогональную сумму неприводимых инвариантных подпространств. Чтобы разбить пространство Но, мы рассматриваем подпредставление T0x = ~ tiaTx и строим для него оператор (4). Тогда, согласно свойствам 3° и 4° оператора Kll и следствию 5.3.2, мы заключаем, что H0 содержит также нетривиальное конечномерное минимальное инвариантное подпространство. Из этих рассмотрений видно, что заключение справедливо для любого инвариантного подпространства.

Чтобы завершить доказательство теоремы 4, покажем, что наименьшее подпространство M в Н, содержащее все минимальные попарно ортогональные инвариантные подпространства, совпадает с Я. В самом деле, поскольку T унитарно, a M инвариантно, то Mj-также инвариантно. Поэтому, согласно отмеченному заключению, Mj- содержит нетривиальное инвариантное конечномерное подпространство, что противоречит определению М. Следовате н>-но, Mj- == О и M = Я. 210

Г лава 5

Дальше мы выведем полезные соотношения ортогональности для матричных элементов неприводимых унитарных представлений.

TeOPEMA 5. Пусть Ts и Ts' — любые два неприводимые унитарные представления группы G, обозначенные индексами s и s' соответственно. Тогда их матричные элементы удовлетворяют соотношениям

- ( 0 если Ts и Ts' не эквивалентны,

с \ЧГ ,тесли 7 =Т • (9)

где ds — размерность представления Ts. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим операторы

Eij = J TleijTU dx, (10)

G

где (etj)mn = 6Гб", i, т = 1, 2, ..., ds, i, n = 1,2, ..., ds. Для каждого у ? G операторы (10) удовлетворяют соотношению

TsF-_F-Tli'

1 У Ч — 1^tj1 у •

В самом деле,

TsyEij = f TsyxeijTU dx = J Tsx-CiіП' -,, dx' = EijTy . (11)

G G

Следовательно, если Ts не эквивалентно Ts', то, согласно лемме Шура, имеем Eij = 0, или в матричной форме

J Dsli (х) Dfk (х-1) dx = J Dsti (X) Б^Гх) dx ,= 0. (12)

G G

Если s = s', то оператор, заданный формулой (10), также удовлетворяет условию (11) и, следовательно, согласно утверждению 5.4.3, Eij = KijI. Поэтому при (/, і) =f (k, /) соотношения ортогональности (12) все еще имеют место. Однако если (I, і) = (k, /'), то, согласно формулам (10) и Eii = rKiiI, получаем

(Eii)ll = ] Dsli (X) Dsil (х-1) dx = J I Dsli (X) I2 dx = Kii (13)

G G

(суммирование отсутствует). Чтобы вычислить константу Kii, положим в (10) і = / и возьмем след от обеих частей. Тогда получаем

Tr Eii = dfKH = J Tr (TleiiTU) dx = Tr Cii = 1,

G

или Kii = Mds. Это завершает доказательство соотношения (9). Представления коммутативных групп

211

Теперь мы покажем, что правое регулярное представление содержит все неприводимые представления. В самом деле, имеет место

УТВЕРЖДЕНИЕ 6. Каждое неприводимое унитарное представление Ts группы G эквивалентно подпредставлению правого регулярного представления.

Доказательство. Пусть [Dsjk (х)}, /, k= 1, 2, ..., ^—матричная форма представления Ts и пусть Hs — подпространство в L2 (G), натянутое на ортонормированные векторы е| = = j '(ds) DsIic (х). Подпредставление И$ТК правого регулярного представления Tr неприводимо и эквивалентно Ts. Действительно,

Tiel (X) = D[k (XX0) = Dsu (X) Dslk (X0) = Dslk (х0) е\ (х).

Характер х (х) конечномерного представления T группы G — это след оператора Tx, т. е.

х(X) = TrTx = (Та, Єі) = Dil (х). (И)

Свойства характеров неприводимых унитарных представлений группы G резюмированы в следующем утверждении.

Утверждение 7.

Г X(V-1Xy) = X(X),

2° I(T1)=W), (15)

3° если Ts^Ts', то Xs = Xs',

г _ f 0, если Ts + Ts',

4° ]xs Wx^ (X)Clx = J ь ^ T^Ts,

Доказательство.

1°. X (У'ху) = Tr (7>.„) = Tr (Ty-,TxTy) = Tr Tx = X (*)•

2°. X (*"1) = Tr Tx-, = Tr Tl = Щ&) = 'Z(X).

3°. Если T^T', то T = S-1TrS и TrTx = TrS^S = Tr Т'х.

4°. Согласно (9),

J Xs W ТЛІ dx = J Dh (X) Df^) dx = f°' ЄСЛИ

а о ( 1. если Ts = Ts .

Пусть T — конечномерное представление группы G. Тогда, согласно следствию 5.3.2 и формуле (14), мы имеем

X (х) = HiiXi (х), (16) 212

Г лава 5

где mf — кратность, с которой неприводимое представление Ti, і.= 1, 2, ..., п, группы G содержится в разложении представления 7. Используя (15) 4°, получаем
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 153 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed