Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Г лава 5
Многим физикам кажется, что множество инвариантных операторов группы G (и, следовательно, также для T') коммутативно. Приведем контрпример.
Пример 1. Пусть к — замкнутая подгруппа группы Ли G, такая, что X = GlK = {gK, g 6 G| обладает инвариантной мерой р. Пусть N (К) — нормализатор подгруппы К в G, т. е. множество всех п ? G, таких, что пКп_1 cz К• Пусть Я = = L2 (X, р), и TiycTbgr-V Tfl — унитарное представление группы G в Я, заданное формулой
Пусть Tn, ti ? N (К), — оператор в Я, заданный формулой
(TfTgt) и (gK) = (Tgo) и (gKn) = и (golgnK) = (TgJrM (gK). (10)
Правые сдвиги на элементы п ? N (К) хорошо определены в X и коммутируют со всеми Tgo, go с G- Итак, каждый правый сдвиг Tn, п ? N (К), лежит в коммутанте 7". Следовательно, если N (K)IК — некоммутативная подгруппа, то T неабелева.
Можно ожидать, что разложение (8) наиболее простое в том случае, когда 7" абелев. Представления с этим свойством называются свободными от кратностей. В таком случае мы можем взять s4 = T' и получить по существу единственное разложение представления T на неприводимые компоненты. Следующая теорема показывает, что для групп типа I мы имеем по существу единственное разложение представления T на неприводимые компоненты.
Теорема 3. Пусть G — сепарабельная топологическая группа типа I. Пусть g Tli — унитарное представление группы G
в гильбертовом пространстве Н, и пусть G — множество классов эквивалентных неприводимых представлений. Тогда существуют
стандартная борелева мера р HaG и функция п (X) HaG, такие, что
TgU(X) = U (gLx).
(9)
Tnit (gK) = и (gKn) = и (gnK).
ТОГД :
H^H= J Н(Х)п (Я)dp (к),
G
а
(Доказательство см. в [574], гл. V, §2.) Предстсв.існия групп
193
§ 7. Комментарии и дополнения
А. Некоторые обобщения непрерывных унитарных представлений
До сих пор мы рассматривали свойства унитарных непрерывных линейных представлений топологической группы G. Можно спросить о существовании теории, в которой некоторые из этих условий, наложенных на представителей Tx группы G, ослаблены. Во-первых, можно построить гомоморфизмы из G в L (H), для которых Te + I. В самом деле, если, например, G = R1, то отображение
exp(br) О
R1 Эх—'Tx =
О
О
где 0 —¦ нулевой оператор в подпространстве пространства Я, удовлетворяет условию Txy = TxTu в любом гильбертовом пространстве, но Te H= 1 ¦ Следующее утверждение показывает, что мы практически ничего не теряем, налагая условие Te = I.
Утверждение 1. Пусть х Tx — гомоморфизм из G в L (H). Тогда H является прямой суммой H1 © H0 инвариантных подпространств и T имеет вид
T =
Л у
1
Tx О
(1)
где T — представление группы G в H1.
Доказательство. Положим H1 = [и Q Н: Te и = и\ и H0 = {и Q Н: TeU = 0|. Ясно, что H1 П H0 = {0|. Для произвольного и из H мы имеем, что U = TeU -[- (и — Теи), где Te (Теи) = Теи и Te (и — Теи) = 0. Поэтому Я — прямая сумма H1 (В H0. Очевидно, что H1 и H0 — замкнутые инвариантные подпространства в Я. Для и из H0 Тхи = TxTeU — 0. Итак, TxH0 = = {0j и отображение х-+Tx принимает вид (1).
Во-вторых, мы можем отбросить условие непрерывности. Чтобы увидеть, что в этом случае происходит, мы вводим понятие так называемого измеримого представления. Пусть р — мера Хаара на G, и пусть T — унитарное представление группы G в сепарабельном гильбертовом пространстве Я. Говорят, что T р-измеримо, если функция X -> (T1U, v) р-измерима для всех и, V из Я. Имеет место
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Унитарное представление T непрерывно тогда и только тогда, когда оно р-измеримо.
(Доказательство см. в [405], (22.20в).) 194
Г лава 5
Этот результат показывает,что разрывные представления должны быть неизмеримы. Поскольку для неизмеримых функций мы имеем только теоремы существования, то мы не надеемся на явные конструктивные реализации разрывных представлений (см. пример 1.3). Поэтому их физическое значение сомнительно *). Однако можно было бы получить измеримые разрывные представления, если допустить несепарабельные гильбертовы пространства, например неймановские бесконечные тензорные произведения гильбертовых пространств [~[ © Hi.
Интересную характеристику унитарных представлений в не-сепарабельных гильбертовых пространствах дает следующее
Утверждение 3. Пусть T — унитарное р-измеримое представление локально компактной группы G в несепарабельном гильбертовом пространстве Н. Пусть Hs — подпространство всех векторов и из Н, таких, что для всех ф из L1 (G) и всех v из H имеем
1° H — прямая сумма двух инвариантных подпространств: H = Hc © Hs.
2° Представление "cT непрерывно. Представление HsT сингулярно в том смысле, что отображение х —> (Тхи, и) эквивалентно 2) нулю для всех и из Hs.
3° Если H сепарабельно, то подпространство Hi отсутствует.
(Доказательство см. в [753].)
Б. Комментарии
1. В математике эквивалентные представления T и 7" группы G неразличимы. Однако в физике унитарно эквивалентные представления не обязательно физически эквивалентны. В самом деле, пусть H — гамильтониан системы двух взаимодействующих нерелятивистских частиц или частицы в потенциальном поле. Предположим, что для такого взаимодействия H имеет только непрерывный спектр (т. е. отсутствуют связанные состояния). Тогда существует унитарный оператор рассеяния S, такой, что
