Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 1. Пусть T — произвольное представление компактной группы G в H. В H существует новое скалярное произведение, определяющее норму, эквивалентную первоначальной норме, от-, носительно которого отображение х-*~Тх определяет унитарное представление группы G.
доказательство. Пусть (•, •) — первоначальное скалярное произведение в Н. Определим новое скалярное произведение формулой
(и, V)' ЕЕ \(TXU, TxV) dx. (1)
д
Легко проверить, что (•, •)'—скалярное произведение в Н. В частности,
(и, и)' = J (TxIi, Тхи) dx = 0 =>¦ и = 0.
G
В самом деле, (Тхи, Тхи) равно нулю почти всюду. Если х ? G такой, что Тхи = 0, то Tx1TxIi = и = 0. 206
Г лава 5
Тогда для каждого Ty имеем (TyI/, Tvv)' - = J (TjajU, TwV) dx = J (Тги, Tzv) dz = (и, V)'. (2)
О G
Поэтому каждый оператор Ty, у ? G, изометричен и Dry = Я. Итак, каждый оператор Ty, у ? G, унитарен.
Чтобы показать непрерывность представления в топологии, индуцированной скалярным произведением (1), докажем сначала эквивалентность норм. Заметим, что
Il и Г = («, и)' = J (TxU, TxU) dx < (sup IITж } (U, и) dx =
G ) G
= N2 (и, = /V211 и Il21 где мы положили N = sup И Tx ||. Обратно, из неравенства
х(1 G
I и Il2 =-- (Тх-гТх11, Tx-ITxU) < (sup Il Tx (Тхи, Тхи) = N21| Тхи f
\ О J
следует
II и Il2 = J (и, и) dx <с N2 f (Тхи, TxU) dx = N2 (и, и)' = N2W и \\'2.
G
Поэтому
N-1 II «II с Il и II' <N Il и II, (3)
т. е. нормы I ¦ I и Il • If эквивалентны. Эквивалентные нормы || • Il и I • Ij' определяют эквивалентные сильные топологии т и т' соответственно на Я. Поэтому отображение х -> Тхи из G в Я непрерывно относительно т', и, следовательно, отображение х ->- Tx является унитарным непрерывным представлением группы G в Я.
Следующий важный результат для компактных групп показывает, что каждое неприводимое унитарное представление конечномерно. Но сначала докажем следующую полезную лемму.
jlemma 2. Пусть T — унитарное представление группы G, и пусть и — любой фиксированный вектор в пространстве представления Я. Тогда оператор Вейля K1,, определенный для всех V ? Я формулой
K11v = [ {v, ТЛи)Тхп d.v, (4)
о
имеет следующие свойства: 1° Kll ограничен,
2° KltTx - TlKu Ям каждых х ( G и и Є Я. Представления коммутативных групп
207
Доказательство. Г.
Il K11VI < } I (V, Tхи) 11 Тхи I dx < J11> Il і Тхи ИI и і dx = II и Il3 M-
о G
2°. Для каждых у ? G и v ? H имеем
TyKuV = \ (v, Тхи) Тихи dx - j {TyV, Тихи) TuxIi dx = о a
= f (TyV, Txu) Txu dx = KuTyV,
G
т. e. TyKu = KuTy.
Перейдем теперь к основной теореме.
Теорема 3. Каждое неприводимое унитарное представление T группы G конечномерно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно лемме 2, мы имеем, что для каждых у ? G и и ^ H K11T11 — TyKii- Поэтому, согласно утверждению 5.3.4, Ku а (и) I и, следовательно,
(K„v, u) = [ (о, Тхи) u'xti, V) dx а '-u){v, v).
G
Поэтому
J I (Txit, с) l3d V- -O(H)IItf. (5)
G
Переставив в (5) и и v и использовав равенство
J/(x-5)dx-}/(x)dx, G G
получаем
«(О) Il« Il2 = 11 (Txv, и) Iі dx --= \ I (и, Txv) I2 dx - } I (Tx-iii, V) I2 dx- =
GGG
= j I (ТХН, V) р dx — CL (и) I V ||г. G
Поэтому для всех и ? H а (и) = c|J н||2, где с — константа. Положив в формуле (5) V = и и И и I = 1, мы получаем, в частности,
f j (Тхи, и) I2 dx = а (н) I и H2 = с И и Il1 = с. (6)
G
Поэтому с > 0, так как неотрицательная непрерывная функция X -V-1 (Tx и, и) I принимает значение || и || = 1 при х = е. Теперь 208
Г лава 5
докажем существенную часть теоремы. Пусть — любое
множество ортонормированных векторов в Н. Положив в (5) и = ek и V = еъ получаем
J1 СTjek, е,) I2 сіл: = K(^)IIe1II2 = k = 1, 2, . . ., п.
о
Следовательно, ортонормальность векторов Txek, k = 1, 2, ..., п, и неравенство Парсеваля приводят к формуле
п п
пс = Sjl {Та, ел) I2Clx = J 2 I (Та, ег) I2 dx с J Il Єі Г dx = 1.
k=l G G fc=l G
(7)
Формула (7) показывает, что размерность пространства представления H не может превосходить Mc и поэтому она конечна.
Мы видели в следствии 5.3.2, что конечномерное унитарное представление любой группы вполне приводимо. Этот результат в случае компактных топологических групп может быть усилен следующим образом.
ТЕОРЕМА 4. Каждое унитарное представление T группы G является прямой суммой неприводимых конечномерных унитарных подпредставлений.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем сначала, что оператор Ku, определенный в (4), имеет следующие свойства: 1° Ku = Ku,
2° Ku — оператор Гильберта—Шмидта, 3° каждое собственное подпространство Hi оператора Ku T-инвариантно,
4° H = H0 + X © Hi, dim H1 <оо, где H0 — собственное і
подпространство оператора Ku с нулевым собственным значением, которое может быть бесконечномерно. 1°. Для каждых V, w ? H имеем
(K1P, ш) = J(u, T1U) (TxIi, w) dx = j (ш, TxIij(v, 7\u) dx =
= (u, J (w, Txu) Txu dx) = (u, K, ). Поэтому Ku - - Ku. Представления коммутативных групп
209
2°. Напомним, что оператор А является оператором Гильберта—Шмидта тогда и только тогда, когда для произвольного базиса {е( } в Я мы имеем E Il Aei Ip < оо. В нашем случае имеем
