Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Барут А. -> "Теория представлений групп и ее приложения. Том 1" -> 68

Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 — М.: Мир, 1980. — 452 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapredstavleniyt11980.djvu
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 153 >> Следующая


где H0 — свободный гамильтониан. Поэтому операторы временного сдвига Ut = ехр (itH) и U'i = ехр (іШо) унитарно эквивалентны.

1J Мы получим разрывное трехмерное представление группы вращений SO (3), если заменим в матричных элементах функции cos ф и sin ф на cos } (ф), sin f (ф), где f (Фі + ф2) = f (фі) + I (ф2) и f (ф) разрывна.

2) Функция f (х) на G [в нашем случае f (х) = (Тхи, и)\ эквивалентна иулю, если для почти всех X Є G относительно р / (х) = 0.

Тогда

SH0 = HS, Предстсв.існия групп

195

Однако они не эквивалентны физически, так как описывают временную эволюцию существенно различных физических систем. Такое же заключение имеет место при рассмотрении эквивалентных представлений группы Галилея или группы Пуанкаре. Причина этого различия кроется в том факте, что в физике мы используем не абстрактные группы, а группы, генераторы которых отождествляются с физическими наблюдаемыми. Одна и так же группа может быть использована для описания различных физических ситуаций.

2. В § 3 мы описали фактор-представления типа I. Другие типы фактор-представлений могут быть описаны с помощью понятия конечных представлений.

Если ооТ T, то мы говорим, что T бесконечно. Если ни одно подпредставление представления T не является бесконечным, то мы говорим, что T конечно. О фактор-представлении Т, которое имеет конечные подпредставления, но не имеет неприводимых подпредставлений, говорят, что оно является типа II.

Наконец, если T приводимо, но каждое собственное подпредставление в T эквивалентно Т, то говорят, что T является фактор-представлением типа III. Такое T обязательно является фактор-представлением и бесконечно.

Общее представление T группы G не обязано принадлежать к одному из описанных выше трех типов. Однако имеет место

Теорема 1. Пусть T — любое унитарное представление группы G. Тогда существуют однозначно определенные проекторы P1, P2 и P3 в центре алгебры R (Т, Т), такие, что

1) P1-I-P2 + /^ = /,

2) P1Hfi р,нт и P3Hfrmia Ii її ц ці соответственно,

3) при і =/= j никакое подпредставление представления ріиТ

P M

не эквивалентно подпредставлению представления і Т.

Эта теорема показывает, что мы можем ограничиться анализом фактор-представлений типов I, II и III.

Почти во всех приложениях мы встречаемся только с представлениями типа I. Свойства фактор-представлений типов II и III менее интуитивны. Относительно простое построение фактор-представлений типа II дано в книге Наймарка [622], § 38. Недавно также были построены фактор-представления типа III (см [2241).

Интересно, что в релятивистской квантовой теории ПОЛЯ мы, вероятно, не можем избежать использования факторов типа III. Действительно, Араки и Вудс недавно показали, что представление канонических коммутационных соотношений скалярного релятивистского квантового ноля приводит к факторам типа III. 196

Г лава 5

Хорошее описание теории факторов и их приложений к теории представлений групп представлено в книге Диксмье [224].

§ 8. Упражнения

§1.1. Покажите, что матричные элементы неприводимых представлений группы SO (3) имеют вид

DjMM'(Ф, о, \|<) = ехр (—іМф) dJMM- (Є) ехр (—ІМ'\|}), (1)

где ф?[0, 2я], ЄЄЮ, я], ??[0, 2я], / = O1 4". T"- - М' M' = —J, -J + 1, . . ., /- 1, / и

AJ /Q\ I 1 +cos 6 \м п0, 2М , „Q, /0,

4л['(6) = (^—--) pJ-M (cose). (2)

Здесь Py' р (х) — полином Якоби.

§5.1. Покажите, что «ряд Клебша—Гордана» для SO (3) имеет следующий вид:

Tj^Tj* = Tj. (3) Глава 6

Представления коммутативных групп

Мы начинаем анализ теории представлений локально компактных групп с коммутативных групп. Коммутативность группового умножения предполагает значительное упрощение теории представлений. Однако она не делает теорию тривиальной, так как в большинстве случаев для описания свойств представлений мы должны использовать прямые интегралы.

§ 1. Неприводимые представления и характеры

Прежде всего мы докажем простое, но существенное свойство неприводимых представлений абелевых групп. Если не утверждается другое, мы рассматриваем локально компактную абелеву группу.

утверждение 1. Любое неприводимое унитарное представление абелевой группы G одномерно.

Доказательство. Для любого х ? G и фиксированного у ? G имеем

Следовательно, любое одномерное подпространство H1 пространства представления H инвариантно. Но T неприводимо. Поэтому H1 должно совпадать с Н.

Характером абелевой локально компактной группы G ЯВЛЯЛА

ется любая непрерывная функция х: G -> С, которая удовлетворяет условиям

Из (3) и (4) следует, что х (е) = 1 их (х'1) = х (х) = х (х)'1.

m /л rp rr\ m гр

' X у ' Xtf ух '

Поэтому, согласно утверждению 5.3.4,

Ty = а (у)1, а (у)?С.

(1)

(2)

|х(х)| = 1,

X(X1X2) = X(X1)X (X2).

(3)

(4) 198

Г лава 5

Следовательно, характер — это одномерное непрерывное унитарное представление труппы G.

Дуальным пространством G произвольной группы G является множество классов эквивалентных представлений в семействе всех непрерывных неприводимых унитарных представлений группы G. Согласно утверждению 1, для абелевых групп G состоит из всех характеров группы G. Если X1 и X2 лежат в G, то функция X (X1X2) (х) = X1 (х) х2 (х) удовлетворяет условиям
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 153 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed