Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
I 2
Пусть N обозначает подпространство в E U Е, натянутое на все векторы вида
(*, Уі + !к) - (•*", Уі) — (*, У-г), (-V1 I -V2, у) - (.V1, у) - (л-.,, у), (Хх, у)~к{х, у), (х, Х//)-Х(х, у).
Тогда тензорное произведение определяется как фактор-пространство
EQE = Е\ і E/N.
Пусть ф 2 — ограничение канонического отображения 12 12 12 яр: Е{2 E E 0 E до декартового произведения E X Е\ тогда мы полагаем ср Цх, у) 1 х Q у. Мы имеем:
1) л- Q (t/i + у2) = Л- Q IJ1 -4- X ® у2,
2) (X1 + хг) Q у = X1Qy -I- х2 Qy, (1)
3) (Xx) 0(/-х© (>.(/) = X (х Q у), к
111 Idim E і 2
Пусть Ieji=I , k = 1, 2, — базисы в E и E соответственно.
12 12
Тогда отображение ср сопоставляет каждой паре (е;, с,) из ExE 12 .1 2 элемент Ci Q Ск\ ДЛЯ X = X1Ci и у = укск, где лишь конечное
число координат отлично от нуля, имеем
XQy = X1ykClQek. (2)
1 2
Если EuE — гильбертовы пространства со скалярными про-
1 2
изведениями (.,.)., і = 1, 2, то скалярное произведение в EQE может быть определено формулой
(X1Cg)SZ1, X2Qy2) = (X1, X2^iy1, у2)2. (3) 184
Г лава 5
12 12 Если E или E конечномерно, то пространство E 0 E1 снабженное
1 2
скалярным произведением (3), полно. Если EaE бесконечномерны, 1 2
то пополняем E ® E по норме, определенной формулой (3), и
1 . 2
обозначаем его символом E ® Е.
і і { { Пример 1. Пусть Я = L2 (й, р), где Q — открытые под-1 і 12 12 множества в Rn, ар — меры на Й. Пусть мера р ® р на ЙХЙ обозначает произведение мер. Тогда
I2 (її, р) 0L2 (Й, м) = L2 (й X Qt р © р).
1 2
Если А и В — ограниченные операторы в E и E соответственно,
то тензорное произведение А ® В операторов А и В определяется 1 . 2 в E ® E формулой
(А®В)(х®у) = Ах®Ву. (4)
Из (4) следует
(A QВ) (A'0В') = AA'® BB'. (5
Б. Тензорное произведение представлений
12 11 Пусть GnG — топологические группы. Пусть g Ti и
2 2 12 1^2 g Tі — представления групп G н G, действующие на E и E Є 1 2 соответственно. Определяем в E ® E операторную функцию
G xGB(g, g)-*Tx<g)T,. (6)
е е
Имеем
Tilg) А = /®/, (7)
и в силу (5)
(Ti ® А \ т 0 Га \ - (Ti Ti © TЛ; \ = Ti і <g> Ti 2. (8) V й е)\ 6« е0 go g go' ggo^ ggo
Поэтому отображение (6) задает представление прямого произве-12 12 дения GxG в тензорном произведении E ® Е.
1 2
определение 2. Представление (6) группы GxG в простран-1 2
стве E ® E называется внешним тензорным произведением пред-12 12
ставлений. Если G = Gng = g, то представление (6) называется Представления групп
185
внутренним тензорным произведением (или кронекеровским произведением) представлений. 1 2
Пусть EaE- гильбертовы пространства, и пусть H =
і . г
= E ® E ¦— гильбертово пространство, являющееся их тензорным произведением. Тогда из (6) и (4) следует, что если представ-12 12 12 ления TkT групп GhG соответственно непрерывны, то T ® T
также непрерывно.
12 1.2 Пусть е,- ® ek — базис в гильбертовом пространстве E ® Е.
Тогда в силу (4) и (3) матричные элементы тензорного произве-1 2
дения T (?) T имеют вид
Ал, т (g, ё) = (('A ® (<'/ ® ет), Єї 0 f/e) =
= (TlIh (TlCnu Ц = Dij (g) Dkm і). (9)
і і Пример 2. Пусть Q — релятивистская частица массы т. і і
Ее волновая функция tt> (р) в импульсном пространстве является
і її і элементом пространства E = L2 (?2, р), где Q — массовый ги-
Ii і її
перболоид р2 = т2, и dp = a3p/p0. Группа Пуанкаре П = T4 х)
Ю SO (З, 1) имеет унитарное непрерывное представление в Е, заданное формулой
Т{а. A}i (Р) = ехр (Іра) Ч> (A 1P). (10)
2 2 Пусть Q — вторая релятивистская частица массы т. Волно-1 2
вая функция \ь (р, р) системы двух частиц является элементом
11. 2 12 тензорного произведения L2 (?2, р) ® L2 (Q, р). Используя определение 1, легко находим
U (6, р) ® L2 (Q, р) = L2 (Q ;< fi, р ® р), (11)
12 12 где р ® р обозначает произведение мер р и р. Тензорное произ-1 2
ведение Tg ® Tg представлений группы Пуанкаре в тензорном произведении (11) пространств в силу соотношения (4) задается формулой
1 2 12 12 12 (Т{а. Al Cg)Т[а. л} (Р, Р) = ехр [і (р + р) a] Ij) (Л-1/?, л»-
Очевидно, что это представление унитарно и непрерывно в пространстве (11). 186
Г лава 5
] 2
Заметим, что даже если представления TnT группы G непри-
1 2
водимы, то внутреннее тензорное произведение T ® T в общем сильно приводимо, т. е.
Tt®Tg^®mJtei (12)
X
где T — неприводимые представления группы G, a mh — крат-
X 1 2
ность представления T в тензорном произведении T ® Т.
X
Определение кратностей mh представлений T в тензорном 1 2
произведении T ® T — проблема «ряда Клебша—Гордана». Это одна из наиболее трудных задач в теории представлений групп, решение которой известно только для нескольких групп и определенных типов представлений. Даже для таких важных групп, которые подобны группе Лоренца, эта задача еще полностью не решена.
1 2
Пусть С — оператор в E ® Е, который приводит внутреннее
1 2
тензорное произведение T ® T к блочно-диагональному виду, т. е.
