Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Mul = CKi, с—* оо. .<4
Глава 1
Тогда
[Mil, KA=-IMli, Mok]
(g?M0
IK1, K1] =4г ГЖом Moj] = ~ Mij - О,
SikMn,) = g,kKi - gikK,, (6)
[Ki, P11]
¦ IAf01, лл-0.
Элементы Mir Ki, Pi, P0 образуют базис алгебры Ли группы Галилея.
Относительно упомянутой физической мотивировки и значения процедуры контракции мы отсылаем читателя к гл. 13.
§ 9. Комментарии и дополнения
А. Следующая диаграмма иллюстрирует соотношения между различными типами алгебр Ли:
Комплексная Комплексные
простые
полупростая ) алгебры
алгебра S An, Bn,Cn,Dn,
CilFilE6tE7lEe
Простые вещественные компактные алгебры
t)
+
Разрешимый _ максимальный радикал N
Простые вещественные некомпактные алгебры
Б. На фиг. 1 и 2 изображено множество всех вещественных простых алгебр Ли, соответствующих классическим простым комплексным алгебрам Ли (полученное обоими методами А и Б из § 5).
В. Первые существенные, хотя и неполные, результаты, касающиеся классификации комплексных простых алгебр Ли, были получены Киллингом в [453]. Теория Киллинга была завершена и расширена Картаном в его диссертации [158]. Он ввел корни как нули характеристического полинома det [KI— adX]. Впоследствии Вейль [839, 841] и Ван-дер-Варден [823] значительно упростили теорию, используя подалгебру Картана в качестве основного инструмента в задаче о классификации. Здесь мы следуем изящному методу, разработанному Дынкиным в [237]. Алгебры Jlu
67
Задача классификации вещественных простых алгебр Ли была также решена Картаном [159]. Здесь мы следовали алгебраическому выводу Гантмахера [295, 296].
Превосходное удобочитаемое изложение теории полупростых алгебр Ли дано в монографии Хауснера и Шварца [385].
-sl( Tl,С)
Bn~so(Zn+1,C) Фиг. 1.
SU(Tl)
sl(n,R)
su(p,q), p+q=n,plq su* (Zn) si In, Cf so(Zn +/)
so(p,q), p+q=Zn+],p>,q so (Zn +1, Cf
C„~sp(n,C)
spin)
sp(p,q), p*q= 77, pi- q spin, R) spin, Cf
so(Zn)
so(p, q), p+q=Zn, p>,q
so"(Zn)
so (Zn, Cf
Г. Матричная реализация классических алгебр Ли An, Bn, Cn и Dn относительно проста; в самом деле, она дается при помощи алгебры п X я-матриц, удовлетворяющих условиям косоэрмито-вости, симметричности и бесследности (§ 5). Конкретная реализация исключительных алгебр Ли является несколько более сложной; в общих чертах они имеют следующую структуру:
¦ L= S +V+ V',
где S — простая комплексная алгебра Ли, V — комплексное векторное пространство, а V' — сопряженное ему пространство. Связь между различными слагаемыми в L дают соотношения
[5, V] с V, [5, V'] с V', [V, V] с: V', [V', Vt] с V. (9) .<4
Глава 1
Например, для L = G2 имеем S = si (3, С) и V = C3 (более подробно см. в [385], гл. II.4 и гл. III).
Д. Теорема 7.1 об алгебрах пространственно-временных и внутренних симметрий была впервые доказана Макглинном [585], следовавшим предложениям объединить эти две алгебры, а в общем виде, представленном здесь, — Коестером, Хамермешем и Макглинном [190]. Смотри также обзор Хегерфельдта и Хен-нига [386], где имеется обширная библиография.
Е. Понятие групповых контракций и их представлений впервые было введено Иноню и Вигнером в [426].
§ 10. Упражнения
§ 1.1. Покажите, что векторное произведение а X b, a, b Q Q R3, удовлетворяет аксиомам алгебры Ли.
§ 1.2. Покажите, что скобки Пуассона классической механики
где R2n — фазовое пространство, определяют алгебру Ли. То же покажите для скобок Якоби векторнозначных функций [/, g] =
= g-yf — fyg-
§ 1.3. Централизатор С алгебры Ли L состоит из всех элементов С, таких, что [С, X \ =0 для всех XQL. Покажите, что С — подалгебра.
§ 1.4. Найдите Lc, (Lc)* и ((Lc)«)c для алгебры Ли L = so (З, 1) Лоренца.
§ 1.5. Найдите все алгебры Ли, базисные элементы которых являются полиномами от Q = х и P = —id/cbc.
§ 1.6. Найдите трехмерное матричное представление ниль-потентной алгебры Гейзенберга [Р, Q] = —і/ (см. теорему 2.2).
§ 1.7. Найдите дифференциальные операторы второго порядка, которые вместе с гамильтонианом
образуют алгебру Ли su (1, 1), где Q = х, P = —id/dx.
§ 1.8. Пусть L — любая неассоциативная конечномерная алгебра с законом умножения ху Q L, х Q L, у Q L, и пусть D — дифференцирование алгебры L. Покажите, что
п
со
__ W tv
Ъ = е =ZjTTd Алгебры Jlu
69
удовлетворяет
4 t (ху) = (<ГЛ) (<І і У)
фt [X, у] = I<ptx, ср/У]. Указание: воспользоваться правилом Лейбница
/=о
§ 1.9. Пусть L — алгебра Ли с базисными элементами X1, ... ..., Xr. Пусть L' — векторное пространство, натянутое на X1, ... ..., Xr и на новый элемент Y. Для того чтобы L' было алгеброй Ли (расширением L), должны существовать некоторые ограничения на коэффициенты а\ в уравнении
[Y, Xi] ^akiXk-
Покажите, что существует тривиальное расширение L' = L 0 0 {У} (несобственное расширение), и определите собственное нетривиальное расширение.
§ 1.10. Пусть H — гамильтониан физической системы в гильбертовом
пространстве cff, и пусть л/— множество всех линейных операторов в Ж, коммутирующих с Н. Покажите, что — алгебра Ли (вообще говоря, бесконечномерная алгебра Ли).
