Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
1 .Lk = so (2л) — алгебра Ли, состоящая из всех вещественных кососимметрических матриц порядка 2п.
2. so (р, q), р -т q = 2ti, р >¦ q — алгебра Ли всех вещественных матриц порядка 2л вида
X1 Х„ X2 Xs
где все Xi вещественны, X1, X3 — кососимметрические порядка р и q соответственно, a X2 произвольно.
3. so* (2п) — алгебра Ли всех комплексных матриц порядка 2п вида
Z і Zq
-Z2 Z1J'
где Z1, Z2 — комплексные матрицы порядка л, причем Z1 — кососимметрическая, a Z2 — эрмитова..<54
Глава 1
III. Вещественные формы алгебры so (2п +I1C) (—Bn, п >¦ 1)
1. Lk = so (2п +1) — алгебра Ли всех вещественных косо-симметрических матриц порядка 2п + 1.
2. so (р, q), р + q = 2n + 1, р > q, — алгебра Ли всех вещественных матриц порядка 2п 1 вида
["X1 X2I
L X2 X3
где все Xt вещественны, X1, X3 — кососимметрические порядка р и q соответственно, a X2 — произвольно.
IV. Вещественные формы алгебры sp (п, С) (~Сп, п > 1)
1. Lk = sp (п) — алгебра Ли всех косоэрмитовых бесследовых матриц порядка 2п вида
Z1 Z2
Z3 Z1J
где все Zi — комплексные матрицы порядка п, Z2 и Z3 — симметрические (т. е. sp (ti) = sp (п, С) П SU (2п)).
2. sp (ti, R) — алгебра Ли всех вещественных матриц порядка 2п вида
X1 X2 Xs -Xt1Ij
где X1, X2, X3 — вещественные матрицы порядка ti, X2, X3 — симметрические. -3. sp (р, q), р jT q = п, р > q — алгебра Ли всех комплексных матриц порядка 2п виді
Z11 ZI2 Z13 Z14
ГУ* ^ 12 Z2 2 Zt Z24
Z13 Z14 Zu -Zi2
ZU -Zu -Zt 12 Z22 _
где Zij — комплексные матрицы: Z11 и Z13 порядка р, Z12 и Z14 — с р строками и q столбцами, Z11 и Z22 — косо-эрмитовы, Z13 и Z24 — симметрические.
Список глобальных вещественных групп Ли, связанных с этими алгебрами Ли, дан в гл. 3, § 7. Среди нижайших неисключительных вещественных простых алгебр Ли существуют важные изоморфизмы. Они индуцируются (за исключением одного случая) изоморфизмами соответствующих комплексных алгебр.Алгебры Jlu
55
Таблица 1
Изоморфизмы комплексных Изоморфизмы вещественных
алгебр форм
A1-B1- C1 SU (2) — SO (3) ~ sp (1)
si (2, R)- SU (1, 1)~ so (2, 1)~ sp (1, R)
B2-C2 so (5) ~ sp (2)
SO (3, 2) ~ sp (2, R) so (4, 1)— sp (1, 1)
D2- A1 © A1 so (4) — SO (3) © SO (3)
so (2, 2) — si (2, R) © si (2, R)
si (2, С) ~ so (З, 1)
so* (4) — si (2, R) © su (2)
A3 — D3 su (4) ~ so (6)
si (4, R) — so (3, 3) su (2, 2) — so (4, 2) su (З, 1) — so* (6) su* (4) ~ so (5, 1)
В табл. 1 указаны все известные изоморфизмы. Для удобства мы включили сюда также изоморфизмы, вызванные тем фактом, что комплексная алгебра Ли D2 изоморфна A1 © A1.
Существует и другой изоморфизм вещественных форм, который не индуцируется указанными выше изоморфизмами комплексных простых алгебр Ли. Именно
so* (8)— so (6, 2)
(см. 1603 І).
Относительно вещественных форм исключительных алгебр Ли см., например, [390] или [385].
§ 6. Разложения Гаусса, Картана и Ивасавы
Мы видели, что по теореме Леви — Мальцева произвольная алгебра Ли M допускает разложение
M = N-^L,
где N — радикал в A4, a L — полупростая алгебра Ли. С целью лучшего разъяснения структуры и свойств произвольной полупростой алгебры Ли мы дадим в этом параграфе три дальнейшие разложения фактора Леви L. Эти разложения играют фундаментальную роль в теории представлений алгебр Ли, так же как и соответствующих групп Ли..<56
Глава 1
А. Разложение Гаусса
Пусть L — полупростая комплексная алгебра Ли, и пусть А — ее система ненулевых корней. Пусть A+ обозначает совокупность всех положительных корней, a L+ — линейную оболочку •собственных векторов Ea, определенных согласно уравнениям
[H1, Ea] = Cz(Hi) Ea, a Q A+, HiQH. (1)
При а, ? Q A+ из (4.13) имеем
{ 0, если а + ? =f О, а -f ? А, \Еа,Ер] = \Na?Ea+?t есш a + ?eA. (2)
Если а, ? Q A+, то а -г ? также содержится в A+. Следовательно, в силу (2) векторное пространство L+ образует алгебру Ли. Пусть А" — множество всех отрицательных корней и L- — линейная •оболочка всех собственных векторов уравнения (1) для a ^ А". Воспользовавшись соотношениями (2), мы заключаем, что L~ также образует алгебру Ли.
Из равенств (1), (2) и коммутативности подалгебры Картана H •следует, что прямая сумма L+ + H является подалгеброй в L. Более того, (1) означает, что L+ — идеал в L+ + Н. Следовательно, подалгебра L+ + H является в действительности полупрямой •суммой L+ ¦+) Я идеала L+ и подалгебры Картана Н. Аналогично L' ¦+) H — полупрямая сумма идеала V и Я. Более того, имеется
Теорема 1. Пусть L — комплексная полупростая алгебра Ли. Тогда:
1° Подалгебры L+ и L~ нильпотентны. 2° Подалгебры L+ -9 Я и L~ -9 H разрешимы. 3° L допускает следующее разложение:
L = L+ + Я + L". (3)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1°. Покажем сначала, что L+ нильпотентна. Поскольку А — конечное множество, существует положительное целое число N, такое, что
«і + «а + • • . + a,v ^ А
для любой последовательности а,, ..., <zN положительных корней. ¦Следовательно, в силу соотношений (2) многократный коммутатор
[[• • • [[[?<V Ea2], La3], LccJ, . . ., Eav i], Ea^ — Ea^a2+ ...+aN