Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
') Это утверждение сейчас уже не точно. Понятие мультиплета теперь понимается более широко, так что дальнейшее надо воспринимать как пример, а не-как безусловное требование. Об этом см. в предисловии редактора. — Прим. ред.. Алгебры Jlu
63
состояний в мультиплетах, а эти так называемые квантовые числа (подобно гиперзаряду или третьей проекции изоспина) являются Пуанкаре-инвариантными, то естественно потребовать, чтобы H коммутировала с Р. Здесь мы показываем, что существуют жесткие ограничения на вид таких объединенных алгебр Ли.
теорема 1. Пусть L— алгебра Jlu, натянутая на базисные элементы алгебры Пуанкаре P и на базисные элементы полупростой подалгебры JJu S. Если H — подалгебра Картона в S и
IP, //1=0, (1)
то L является прямой суммой идеалов:
L = P@S. (2)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Xp, р = 1, 2, ..., 10, обозначают базисные элементы алгебры Пуанкаре, удовлетворяющие коммутационным соотношениям
[Хр, X0] — CpaXxt (3)
и пусть H1 и Ea — базисные элементы в S, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям Вейля (4.13). Произвольный коммутатор [?а, Xp] может быть записан в виде
[Еа, Xp] = лірE? + ylpHj + ZapXx, (4)
где л'ар, г/ар и Zap — коэффициенты разложения алгебры L по базису E?, Hj, Xx- Тождество Якоб л
[[Ea, Хр], Hi] + [[Хр, Hi], Ea]-Jr [[Hi, Ea], XpI = O (5)
в силу равенств (1), (3), (4) и (4.13) принимает вид
I1 (Др. Ш- (Hi)) - S yLPa (H1) Hi -? f
-S^pa(TZ1)Xx=O. (6)
г
Для всякого корня a, a (Hi) 0 по крайней мере для одного базисного элемента Hi, а a (Hi) ? (Hi) по крайней мере для одного базисного элемента Hi при а ф ?; следовательно,
у'а P = о, Zxap = 0 (7)
и
ар (суммирование отсутствует). (8)
Тогда тождество Якоби
[[Xp, X0], Ea] + [[X0, Ea], Xp] + [IEa, Xp], X0] = 0 (9) дает равенство
Jj CpaXaxEa XacXapEa + XapXaaHa = — Jj CpcXaiEa = 0. (10) .<4
Глава 1
Коммутационные соотношения (1.23) для P означают, что для каждого т можно выбрать р и а таким способом, что Cpc = 0 и Cp0 = О при т ф т'. Таким образом, Xap = Ob соответствии с равенством (10). В свою очередь это подразумевает, что [Еа, Xp] = 0 в силу равенств (7), (8) и (4). Следовательно, L является прямой суммой P 0 S двух идеалов.
Структурная теорема 3.2 подразумевает следующее обобщение теоремы 1.
ТЕОРЕМА 2. Пусть L — алгебра JIu, натянутая на базисные элементы алгебры Пуанкаре P и на базисные элементы произвольной компактной алгебры JIu К. Пусть С — максимальная коммутативная подалгебра в К. Если
[Л С] = 0, (11)
то L является прямой суммой идеалов:
L = P@K. (12)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно теореме 3.2, компактная алгебра Ли является суммой идеалов N (+) S, где N — центр в К, а S полупроста. Ясно, что [Р, N] = 0 ввиду (11). Пусть H — подалгебра Картана в S. Так как S полупроста, а IP, Н] = 0, то теорема 1 означает, что [Р, S ] = 0. Значит, L = P@N@S = P@K — прямая сумма идеалов.
Эти результаты не исключают в принципе возможности вложения части алгебры Пуанкаре и других алгебр Ли симметрии в некоторые более широкие алгебры симметрии. Мы вернемся к этим вопросам в гл. 21, §3.
§ 8. Контракция алгебр Ли
Пусть L — алгебра Ли. Контрактированную алгебру Ли L' алгебры L можно абстрактно ввести следующим образом (впоследствии мы покажем, что эта операция имеет физическое обоснование, когда определенные физические параметры стремятся к нулю или к бесконечности). Пусть X1, ..., Xr — базис в L. Для подмножества X1, ..., Xp, р < г, базисных элементов определим
Y1 = K-1X1, г== 1, 2.....per, (1)
и выразим через Yi коммутационные соотношения: [Г,-, Yi] = CkiiK-1Yk + K-2CTiXm, [Yi, Xm] = CkimYk^CnimK-lXn, (2)
[Хт, Xn ] = C1mnKYi + CmnXs, і, /', k < р, р < т, п, s г. Алгебры Jlu
65
Устремим теперь X -*¦ оо и выясним, когда элементы Y1, . . ., Yp, Хр+1, . . ., Xr
снова образуют алгебру Ли, именно контрактированную алгебру Ли Lp. Это имеет место, когда выполняется условие
cLn = °> 1 <¦ Р> Р<т, п< г. (3)
Ясно, что если р = г, то Lr есть абелева алгебра Ли
\Уі, Yj] = О, i, / = 1, ..., г.
Имеется много важных и интересных нетривиальных случаев, когда р О.
Пример 1. Контракция алгебр де Ситтера о (3,2) и о (4, 1) в алгебру Ли группы Пуанкаре.
Алгебры Ли де Ситтера имеют базисные элементы Маь = = —Mba, a, b = 1, 2, ..., 5, удовлетворяющие
[Maby Mcd] = — IgbcMad - gacMbd + gadMbc - gbdMaC), (4)
где
gab¦----1-+ для о(3, 2),
gab-----і--для 0(4, 1).
Пусть теперь M511 = RP11, и пусть R-*- оо. Тогда (р, v, р = 1, 2, 3, 4)
IРц, Pv] = ~ IM5J1, M5v] = - -Lgsb Mnv-O, [Mtlv, Ppl = -^-[Myv, M6p] = - -^-(g?PMv5 - gvpM?!t) =
= SvpPlX - SwpV (5)
Определяя теперь генераторы Mflv = —Milyi, получаем для Mllv и Pa коммутационные соотношения алгебры Пуанкаре (см. соотношения (1.23)).
Пример 2. Контракция алгебры Ли Пуанкаре в алгебру Ли группы Галилея.
Эта задача имеет одно абстрактное математическое решение, другое, отличное от первого, — физическое, как будет видно в гл. 13. С целью формального решения рассмотрим элементы алгебры Ли Пуанкаре Plx, Mllv с коммутационными соотношениями, заданными согласно (1.23). Пусть
