Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1.11. Покажите, что алгеброй дифференцирований алгебры Ли (1.23) группы Пуанкаре является 11-параметрическая алгебра Вейля, состоящая из алгебры Ли Пуанкаре и генератора D дилатаций с
ID, P11]=, -Pvl, [D, Mvv] = 0.
§2.1. Проклассифицируйте все алгебры Ли размерности 2 и 3 (имеются две алгебры Ли размерности 2, одна абелева и одна разрешимая, заданные при помощи [еъ е2] = ev Алгебрами Ли размерности 3 являются: а) абелева; б) нильпотентная [elt е2] = = 0, Ie2, е3] = еъ [е3, ej = 0; в) Ie1, е2] =^ еь Ie1, е3] = 0, Ie2, е3 ] = 0; г) класс разрешимых алгебр Ie1, е2] =0, [сь е31 = = ае1 + ?e2, [е2, е3] = Pe1 + oe2, a? — ?y =^ 0 (включает евклидовы алгебры е (3) и е (2, 1)); д) две простые алгебры so (3) и so (2, 1).) .<4
Глава 1
Более конкретно, записывая еу ] = fk (і, /, k — цикли-
ческие), имеем
I и III IV V Vl VII VIII IX
/l 0 0 ei e2 ei Єї Єї Є\ Cl
и 0 0 0 —Є\ е2 -? Cl + ре2 Ч
h 0 ei 0 0 0 0 0 е3 B3
§ 2.2. Покажите, что следующая алгебра Ли нильпотентна: [1,2] = 5, [1,31 = 6, [1,4] = 7, [1,5] = — 8, [2,3] = 8, [2, 4] = 6, [2, 6] = —7, [3,4] = —5, [3,5] = —7, [4,6] = = —8, все остальные коммутаторы равны нулю.
§ 2.3. Покажите, что любая четырехмерная нильпотентная алгебра имеет трехмерный идеал.
§ 2.4. Найдите все разрешимые подалгебры алгебр Ли а) группы Лоренца и б) группы Пуанкаре.
§ 2.5. Вычислите форму Киллинга для группы Пуанкаре. § 2.6. Коммутационными соотношениями алгебры Ли so (р, q) являются
[Lab, Lcd] = -gbc^ad — gad^bc + gacLbd Ь gbJ-nc,
где gab — метрический тензор. Покажите, что метрический тензор Картана
gab, a? = (Cab)cd (cap)ef
имеет простой вид
gab, a? = Const (go?gba - garxglf,).
§ 2.7. Пусть ф (jc) — нерелятивистское квантовое поле, удовлетворяющее при фиксированном t каноническим коммутационным соотношениям
ж*), у m=tii3)(x - у), Ж*). Ф Wl = №*(•*). (у)] = О-
Определим ток
Покажите, что
Uk (X), J1 Су)1 - - і -^т Uk (X) 6<3) U - у)] I-
дх Алгебры Jlu
71
Является ли (Jfc (л:)} алгеброй Ли?
§2.8. Положите в предыдущей задаче
я
Jk (я) = J Jk(x)e~inxd3x.
—я
Покажите, что
[Jk (я), J1 (т)\ = HilJk (т + п)- nj, (т + я).
Найдите конечномерную подалгебру этой алгебры.
§ 2.9. Пусть р (je) = я);* (je) яр (л:) — плотность заряда из предыдущих задач. Покажите, что
[ри, p (у)] = о
и
[р (X). Jk (у)] = і ^J 8<3) (х-у) P (у).
Покажите, что р (х) и Jk (л;) образуют конечномерную алгебру Ли.
§ 3.1. Проклассифицируйте все десятимерные алгебры Ли, которые содержат четырехмерную абелеву алгебру (т. е. классификация всех пространственно-временных групп).
Указание: воспользуйтесь теоремой Леви — Мальцева. § 4.1. Определите форму Картана— Вейля (см. теорему 4.3) алгебр Ли su (3), su (2, 2), о (р, q).
§ 4.2. Вещественная алгебра Ли so (4, 2) размерности 15 задана следующими коммутационными соотношениями базисных элементов:
Miiv и Р,л в точности те же, что и в (1.23): [Д Mliv] = О,
[D, Pn] = - Pll, 1Кь, M1J = g^Kv — gvKK,x, [Kv, PtA = -^igllvD-Milv), [D, Kll] = K111 IK11, Kv] = 0.
Покажите, что, хотя максимальная коммутативная подалгебра четырехмерна, подалгебра Картана имеет размерность 3.
§ 4.3. Рассмотрите отражение 2а в /-мерном корневом пространстве плоскостью, перпендикулярной к корню а. Покажите, что отраженный корень
также является корнем, и Hc,а = —а (отражение Вейля).
§6.1. Найдите разложение Ивасавы для алгебры Ли Лоренца so (З, 1). Глава 2
Топологические группы
§ 1. Топологические пространства
В этом параграфе мы даем описание основных свойств топологических пространств, таких, как сходимость последовательности, непрерывность отображений, компактность, связность и т. п. Мы даем также соответствующие понятия для метрических пространств, которые являются более интуитивными.
Обозначения. Объединение A U В двух множеств А к В — это множество всех точек, принадлежащих А или В, т. е.
A U В = \х: X Q А или х Q В],
а пересечение А [\ В — это
А [\ В = [х: х Q А и X Q В\.
Множества А и В называются непересекающимися, если A f) П В = 0, где 0 — пустое множество.
А. Топологические пространства
Определение 1. Мы говорим, что пара {X, т), где X — произвольное множество, а т — набор подмножеств X1 с: X, является топологическим пространством, если т удовлетворяет следующим условиям:
1° 0 6 т, X Є т.
2° Если U1 Q т и U2 Q т, то U1 П U2 Q т. 3° Если UsQ т для всякого s Q S, где S — множество произвольного индекса, то U Us Q т.
s ? S
Каждое подмножество U cz X, принадлежащее набору т, называется открытым множеством, а набор т — топологией в множестве X. Будем пользоваться также выражениями: т определяет топологию на X; X снабжено топологией т. Из свойства 2° следует, что пересечение произвольного конечного числа открытых множеств является открытым множеством.
Окрестность элемента х Q X —- это произвольное множество, содержащее открытую окрестность (т. е. открытое множество, которое содержит х). Топологические группы
73
Ясно, что множество, имеющее более чем один элемент, может быть снабжено различными топологиями (см. упражнение 1).
