Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Следующая теорема дает прямой метод построения всех неизоморфных вещественных форм комплексной простой алгебры Л и L.
ТЕОРЕМА 4. Все неизоморфные вещественные формы заданной комплексной простой алгебры Ли L могут быть получены следующим способом:
1° Находим все неэквивалентные инволютивные автоморфизмы S компактной формы Lk алгебры L.
2° Выбираем базис в Lk такой, что матрица S диагональна. Базисные векторы в Lk, соответствующие собственному значению —1, умножаем на і, оставляя без изменения остальные базисные векторы. Полученному таким образом базису соответствует вещественная простая алгебра Ли HsK
Доказательство. Инволютивный автоморфизм S компактной алгебры Ли Lk можно привести к диагональному виду с элементами + 1 или —1 на диагонали. Это обусловлено тем, что форма Киллинга отрицательно определена и, следовательно, автоморфизм S является унитарным оператором, т. е. S* = S-1. Из S2 ~ 1 вытекает, что S"1 = S, или S* = S, значит автоморфизм S может быть представлен в виде разности двух проекционных операторов
и ^=4-0-5).
Полагая Lk = P+Lk и Lk = P~Lk, находим, что Lk является прямой суммой ортогональных подпространств Lk и Lk, а каждый элемент X Q Lk (Lk) является собственным вектором для S с соб-Алгебры JIu
5!
ственным значением +1 (—1). Согласно (3), преобразование P = VrS име JT в ід
1
1 О
P =
(5)
і ° ' Выбирая в Lt и Li произвольный базис и применяя преобразование (5), мы получаем базис в вещественной форме L(S>, описанный в теореме 4. Если затем перебирать все неэквивалентные инволю-тивные автоморфизмы 5 алгебры Lk, то, применяя теорему 3, мы получи,м все неизоморфные простые вещественные алгебры Ли, ассоциированные с заданной простой комплексной алгеброй Ли L.
Другими словами, если
Lk = К+ P
(6)
— разложение алгебры Lk, морфизмом 5 (т. е. 5 (X) =
F с. F), то
обусловленное инволютивным авто-X для X Є К и 5 (Y) = -Y' для
L(S) = К + \Р
(7)
является вещественной формой простой комплексной алгебры Ли L, ассоциированной с инволютивным автоморфизмом 5.
Метрический тензор Картана g'f вещественной алгебры Ли L(S> ?«ожно положить равным матрице S. Действительно, поскольку форма Киллинга для Lk является дефинитной, метрический тензор Картана в Lk можно взять в вид姹 = Значит,
gik
(Vs){i(Vs)kngln = s
Ik-
и
з этого следует, что два инволютивных автоморфизма S1 и S2 в L,, с различными сигнатурами приводят к неизоморфным простым вещественным алгебрам Ли L(Si) и L's^ соответственно.
ПРИМЕР 1. Пусть L = о (3, С). Компактная форма Lk = о (3) алгебры L определяется следующими коммутационными соотношениями:
[X1, Х2] = Х3, [X2, X3I = X1, [X3
Xo.
(9;.<52
Глава 1
В данном случае имеется шесть инволютивных преобразований в о (3):
- 1 0 - -— 1 о - -1 0-
S(I) = 1 , 5(2) = —1 , S( 3) = 1
0 1 . о —1_ 0 —1
-1 0 - - — 1 0- 1 0-
S(4) = -1 , S(S) = 1 J 5 (6) = — 1
0 —1 0 —I _ 0 1
Преобразования Si2> и Siз> не являются автоморфизмами о (3), так как они не сохраняют коммутационные соотношения (9). У S(i) = / и переводит о (3) на о (3). Преобразования S(4), S(5> и S(6) ¦—инволютивные автоморфизмы о (3). Из (3) получаем
-1 о- "і 0- - і 0-
VS14* = І , VS{ 5, = 1 , Vsi 6, = і
0 і і. 0 1_
Используя (4), покажем теперь, что автоморфизмы !'"S(S) и VS(6) эквивалентны VSi^. Действительно, автоморфизмы (10) алгебры о (3) являются также автоморфизмами алгебры о (3, С) в базисе (8). Кроме того, автоморфизмы о (3, С) вида
^(5) = 1^5(4)(]/?))3, ,4(6)=1^5(4)(^ S(6))3
преобразуют как l^S(S), так и V"S(6) в |AS(4). Следовательно, в силу соотношения (4) они приводят к вещественным формам L(sa>) и L(sU)), изоморфным Используя теперь теорему
(4), получаем (Yk = (Sw)lk X1)
[FbF2I = F3, [F21F3I = -F1, [Fa, F1] =. F2,
что является алгеброй Ли о (2,1) некомпактной группы Лоренца в трехмерном пространстве-времени (см. также упражнение 2.1°).
Задачу классификации всех неэквивалентных инволютивных автоморфизмов компактных простых алгебр Ли можно решить при помощи геометрических методов (см. [168]) либо алгебраическими методами (см. [295, 296] или [385], гл. III). В дальнейшем ограничимся перечислением конкретных форм классических простых вещественных алгебр Ли, выделенных при помощи этих автоморфизмов.Алгебры Jlu
53
I. Вещественные формы алгебры si (а, С) (- -Ап_х, ti > 1)
Эта алгебра Jln имеет следующие вещественные формы. i-l4 = su (п) — алгебра Ли, состоящая из всех косоэрми-товых матриц Z порядка п со следом Tr Z = 0.
2. si (п, R) — алгебра Ли, состоящая из всех вещественных матриц X порядка п со следом Tr X = 0.
3. su (р, q), р + q = n, р > q, — алгебра Ли всех матриц вида
Z1 Z2
Zi Z3J'
где Z1, Z3 — косоэрмитовые матрицы порядка р и q соответственно, Tr Z1 + Tr Z3 = 0, Z2 произвольна.
4. su* (2п) — алгебра Ли всех комплексных матриц порядка 2п вида
Z1 Z2 -Z2 Z1J'
где Z1, Z2 — комплексные матрицы порядка п, Tr Z1 + + Tr Z1 = 0.
II. Вещественные формы алгебры so (2п, С) (—Dn, n > 1)