Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
ТЕОРЕМА 4 (Глисон). Локально выпуклое топологическое векторное пространство X локально компактно тогда и только тогда, когда dim X <[ оо.
В частности, всякое бесконечномерное гильбертово пространство не локально компактно. Это показывается непосредственно. Действительно, например, последовательность хп = Ren, где — ортонормированный базис в Н, a R — любое положительное число, не содержит сходящейся подпоследовательности в сильной топологии; следовательно, любой шар S (х, R) не имеет компактного замыкания.
Е. Связность
В теории топологических групп и представлений групп важно знать, интуитивно говоря, число различных «кусков» рассматриваемого топологического пространства. Введем теперь математический формализм, описывающий эту черту топологических пространств.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Топологическое пространство X называется связным, если оно не является объединением двух открытых непересекающихся подмножеств А и В. Подпространство FcX называется связным, если оно связно как топологическое подпространство с относительной топологией.
Пример 9. Каждое дискретное пространство X, содержащее более одной точки, не связно, так как его можно представить как сумму двух множеств Л = {х0}, X0 ? X, и А' = Х\ {х0}, которые непусты, открыты и непересекающиеся. Топологические группы
81
Связность также инвариантна не только по отношению к гомеоморфизмам, но и по отношению к непрерывным преобразованиям.
УТВЕРЖДЕНИЕ 5. Пусть X — связное пространство, а /: X-+ -> Y — непрерывное преобразование на пространство Y. Тогда Y связно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что Y не связно. Тогда существуют два непустых открытых множества А и В в Y, таких, что
A U B = f (X) = Y
и
А П В = 0.
Из определения обратного отображения следует, что
Г1 (A) U F1(B) = T1(Y) = X г (А) П F1(B) = THA (] В) = 0.
Множества F1 (А) и F1 (В) непусты. Кроме того, непрерывность отображения / предполагает, что множества F1 (А) и F1 (В) открыты. Значит, X может быть представлено как объединение двух непустых непересекающихся открытых множеств, что противоречит связности X.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Компонента точки х топологического пространства X — это объединение всех связных подпространств пространства X, содержащих точку х.
Замыкание связного пространства связно; следовательно, компонента замкнута.
Если все компоненты пространства X — одноточечные множества, то пространство X называется полностью бессвязным.
Ж. Односвязные и многосвязные пространства
Две точки хи у пространства X связывает путь Px^u, если можно из X непрерывным образом перейти в у, проходя через элементы однопараметрического подмножества P из X. Если х совпадает с у, получается либо замкнутый путь Px->х, либо нулевой путь P в точке х. Другими словами, путь в X — это непрерывное отображение замкнутого интервала [0, 1 ] в X.
Говорят, что два пути Px >у и Qx > у гомотопны (деформируемы, или эквивалентны), и обозначают это P-Q., если существует непрерывная деформация пути Qx^y в путь Рх->,,, оставляющая конечные точки без изменения. .<4
Глава 1
Пример 10. Пусть X — поверхность тора. Замкнутый путь Р'х->х, который не охватывает кольцо, гомотопен нулевому пути. Замкнутый путь P1y^y
охватывающий один раз кольцо, не гомотопен ни Pnx ни пути, охватывающему кольцо дважды.
Топологическое пространство называется односеязным, если всякий замкнутый путь гомотопен нулевому пути. Пространство из примера 10 не односвязно.
Аналогично, осуществляя стереографическую проекцию, заключаем, что «-сфера Sn односвязна при п > 1.
Определение гомотопии путей удовлетворяет следующим условиям:
Следовательно, оно является отношением эквивалентности, и, таким образом, все замкнутые пути (в точке х) классифицируются на так называемые классы гомотопии.
Топологическое пространство называют п-связным, если оно в каждой своей точке обладает п классами гомотопии.
Пример 11- Пусть X — тор. Очевидно, что замкнутый путь, охватывающий кольцо k раз, неэквивалентен замкнутому пути, охватывающему кольцо Z раз, при k =j= I. Значит тор имеет бесконечное число классов гомотопии в каждой точке. Следовательно, он бесконечно связан.
§ 2. Топологические группы
Объединим понятия абстрактной группы и топологического пространства в применении к одному и тому же множеству G в понятие топологической группы G. Совместимость в этой комбинации обеспечивается непрерывностью.
У —У
P^P (рефлексивность), P ~ Q => Q ^ P (симметричность), P^Q, P ^T (транзитивность). Топологические группы
83
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Топологическая группа — это множество G, такое, что
1°G — абстрактная группа,
2° G — топологическое пространство,
3° функция g (х) = x"1, х ? G, является непрерывным отображением G G, а функция / (х, у) = х-у является непрерывным отображением С X G ->¦ С.
ПРИМЕР 1. Рассмотрим евклидово пространство Rn как абелеву алгебраическую группу и как топологическое пространство с топологией произведения пространств R1. Функции
g (х) = х-1 = — X II / (х, у) =г- X + У
