Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
и потому является допустимым кандидатом в качестве автоморфизма а для разложения Картана. Векторное пространство P определено условием (13)
a (F) = - F=^Ft = F,
т. е. P — совокупность всех симметрических бесследовых матриц.. Поскольку коммутатор кососимметрической и симметрической матриц есть симметрическая матрица, а коммутатор двух симметрических матриц — антисимметрическая матрица, коммутационные соотношения (10) выполняются. Форма Киллинга для si (п, R) была задана равенством (2.15), т. е.
(X, F) = 2/1 Tr (XF).
Кососимметрическая матрица, будучи приведена к диагональному виду, имеет лишь чисто мнимые неисчезающие диагональные; €0
Глава 1
элементы. Следовательно, если D обозначает матрицу, которая диагонализует заданную кососимметрическую матрицу, то
(X, X) = 2п Tr (DXD-1DXD-1) < 0. Аналогично проверяется, что если Y — симметрическая матрица, то (Y, Y) > 0. По этой причине условия (11) также выполняются. Следовательно, so (п) является максимальной компактной подалгеброй в si (п, R). Поэтому разложение Картана L = К + P в данном случае есть как раз известное разложение матрицы на ее кососимметрическую и бесследовую симметрическую части.
Разложение Картана принимает особенно простой вид для вещественной алгебры Ли Lr, ассоциированной с комплексной простой алгеброй Ли L. Именно если U — компактная форма алгебры L (которая в силу теоремы 5.2 всегда существует), то
Lr = U + iL (16)
является разложением Картана алгебры LR. В самом деле, очевидно, что коммутационные соотношения (10) выполняются. Можно показать, что условия (11) также выполняются. Пусть (. , .)R и (. , .) — формы Киллинга на Lr и L соответственно. Согласно лемме 2.4, имеем
(X, Y)R = 2Re(X, Y), X, YQLr. Поскольку форма Киллинга (. , .) отрицательно определена на UxU и положительно определена на і U X і U, то отсюда следуют условия (11) теоремы 2. Таким образом, разложение (16) является разложением Картана алгебры Lr.
В. Разложение Ивасавы
Третий тип разложения полупростой вещественной алгебры Ли основан на разложении Картана и на разложении комплексной полупростой алгебры на ее корневые подпространства.
Пусть L = К + P — разложение Картана полупростой вещественной алгебры L1 и пусть Lc— комплексное расширение L. Пусть о и т — сопряжения алгебры Lc по отношению к L и U = К + ІР соответственно, т. е.
а: X + iY — X-iY, X, Y QL,
т: X + iY— X-iY, X, YQU. (17)
В силу (1.25) ясно, что преобразование 0 = от является автоморфизмом в Lc.
Пусть а — корень алгебры Lc. Линейная функция ав (X) = = а (вХ) на подалгебре Картана H также является корнем, так как если
Lc = {YQL: [X, Y] = a(X)Y для всех XQH} Алгебры Jlu
61
является корневым подпространством в Lc, соответствующим корню а, то La0 = B^1La — корневое подпространство в Lc, соответствующее а0. Пусть теперь
В" = {a: сс ^A+, a ф a0}, N= ^J + La.
а ? В*
Nu = LftN, S0 = Hp + N0, Hp = HlRP1 (18)
где Hl — максимальная абелева подалгебра в L. Тогда имеет место
теорема 3. Пространства NiU N0 являются нильпотентными алгебрами Ли, S0 — разрешимая алгебра Ли и
L = K@HP@N0. (19)
(Доказательство см. в [390], гл. VII, §3.)
Разложение (19) вещественной полупростой алгебры Ли L называется разложением Ивасавы.
Пример 3. Рассмотрим L = si (п, R). Найдем прежде всего вид нильпотентных алгебр N и N0. Из примера 1 имеем, что множество A+ положительных корней алгебры Lc = si (п, С) состоит из
rJik = ™2,Г ^ii 1 < ^
где, согласно (4.5),
«й(А') = 'tі - h для НЭХ^ t Kess, І К = 0.
S=I S=I
Воспользовавшись (17), убеждаемся, что
о(Х) = I1Kesit r(X)=J] -lAs.
Значит,
Є(Х) = ат(Х) = —Х.
Следовательно,
а% (X) = Kk -Ki фо.ік(Х).
Это означает, что B+ = A+. Поэтому нильпотентная алгебра N имеет вид
aLk Є Д+ Kk
где ((eik))c — одномерные комплексные лучи. Алгебра si (п, R) натягивается на генераторы eik, і ф k, і, k = 1, 2, ..., п, и на .<62
Глава 1
генераторы подалгебры Картана Hl = \еп — е,-= 1, 2, ..., п — 1}. Поэтому
Tv0 = Lnyv=H + «*,
i<k
где ((eik))R — одномерные вещественные лучи. Эта алгебра состоит из всех верхних вещественных треугольных матриц с нулями на диагонали. Из примера 2 векторное пространство P состоит из всех симметрических матриц с нулевым следом. Поскольку все элементы из Hl — симметрические матрицы, мы имеем Hp = = Hl П P = Hl. Следовательно, разрешимая алгебра S0 есть
S0 = Яр+H + ((А
i<k
т. е. состоит из всех верхних треугольных вещественных матриц с нулевым следом.
Разложение Ивасавы (19) для si (п, R) — это не что иное, как разложение произвольной вещественной бесследовой матрицы в сумму кососимметрической, бесследовой диагональной и верхней вещественной треугольной матрицы, у которой нули на диагонали.
§ 7. Приложение. Об объединении алгебры Пуанкаре и алгебр внутренней симметрии
В физике сильно взаимодействующих частиц, по-видимому, эмпирическим является тот факт, что эти частицы и резонансы можно сгруппировать в мультиплеты, соответствующие неприводимым представлениям некоторых так называемых алгебр Ли внутренней симметрии, наподобие мультиплетов алгебры изо-спина su (2) или мультиплетов алгебры su (3). Частицы из фиксированного мультиплета обладают одинаковой четностью и спином, но могут иметь различные массы *). Таким образом, алгебра наиболее общей симметрии не может быть прямой суммой P © S' двух идеалов, алгебры Пуанкаре P и алгебры S внутренней симметрии, поскольку в противном случае все массы внутри мультиплета должны были бы совпадать. Естественно поэтому задаться, вопросом, существует ли более широкая алгебра L, содержащая PhSb качестве подалгебр таким образом, что хотя бы один из генераторов S не коммутирует с Р, так что оператор квадрата массы Pj1Pm уже не является инвариантом большей алгебры.. Поскольку собственные значения базисных элементов H1 подалгебры Картана H алгебры S используются для обозначения
