Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 1
Пусть (X, тл} — топологическое пространство с топологией тх, и пусть f — функция на X с областью значений Y. Обратная функция f'1 из FbX, определенная для у ? Y формулой f'1 (у) = = \х Q X: f (х) = у\, имеет свойства:
Значит, семейство ху всех множеств U a Y, для которых /-1 (U) открыто в X, является топологией на пространстве Y. Топология ху является наибольшей топологией для Y со свойством непрерывности функции f. Топология Ty называется фактор-топологией для Y (фактор-топологией относительно / и относительно топологии тх пространства X).
Пусть (X, тх) — фиксированное топологическое векторное пространство, a R — отношение эквивалентности на X. Пусть л — естественная проекция X на семейство XIR классов эквивалентности. Семейство XlR с фактор-топологией тX/R (относительно отображения п и топологии тх на X) является фактор-пространством.
Если U CZ XIR, то тс"1 (U) = U [и: и Q Uj. Поэтому U открыто (замкнуто) относительно фактор-топологии %x/r тогда и только тогда, когда (J {и: и Q U] открыто (соответственно замкнуто) в X.
Д. Компактность
Понятие компактности или локальной компактности группы играет существенную роль в теории представлений. Это понятие является чисто топологическим и может быть определено только при помощи открытых множеств. Однако поучительно определить это понятие сначала для метрических пространств на языке последовательностей.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Говорят, что метрическое пространство" X компактно, если из всякой последовательности точек ръ р2, ... из X можно выделить сходящуюся к точке р Q X подпоследовательность, т. е. существует последовательность индексов
/-1JLI ?/,)= Uf1(Ui), UiCZY,
h < h < . . .
и точка р Q X, такие, что
Um Pkn = р.
Пример 7. Пусть X — замкнутый интервал а < х < b, a, b < < оо. Классическая теорема Больцано — Вейерштрасса утверждает, что из каждой ограниченной бесконечной последователь- Топологические группы
79
ности точек можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Следовательно, X компактно.
С помощью теоремы Больцано — Вейерштрасса и понятия координат легко доказать, что подмножество Y a Rn компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено (это является содержанием классической теоремы Бореля — Лебега, известной также как теорема Хейне — Бореля).
Чтобы дать определение компактности в произвольном топологическом пространстве, выразим сначала компактность метрического пространства на языке открытых множеств. Действительно, имеет место следующая теорема.
теорема 2 (теорема Бореля — Лебега). Всякий набор открытых множеств, объединение которых покрывает компактное метрическое пространство X, содержит конечный поднабор, объединение открытых множеств которого покрывает X.
Следовательно, для самого общего топологического пространства принимается
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Топологическое хаусдорфово пространство X компактно, если всякий набор открытых множеств, объединение которых покрывает X, содержит конечный поднабор открытых множеств, объединение которых покрывает X (т. е. всякое открытое покрытие пространства X содержит конечное подпокрытие).
Пример 8. 1° Дискретное пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно. Если же оно бесконечно, то покрытие X=U іхі] не содержит конечного подпокрытия.
х?Х
2° Сфера S", п = 1,2, ... <сю, компактна. В самом деле, сфера Sn является замкнутым ограниченным подпространством в R"+1. Поэтому, согласно теореме Больцано — Вейерштрасса, она компактна.
Компактность топологических хаусдорфовых пространств инвариантна не только по отношению к гомеоморфизмам, но также и по отношению к непрерывным преобразованиям. Действительно, имеем
утверждение 3. Пусть X — компактное пространство, a Y — хаусдорфово пространство. Если существует непрерывное преобразование f пространства X на пространство Y, то пространство Y также компактно.
доказательство. Возьмем произвольное открытое покрытие 1) l^sb^s пространства Y. Множества [Г1 (Us))s ^s поро-
Семейство {1/?} (открытых) подмножеств в X называется (открытым) покрытием подмножества A CZ X, если А С IJ (У'А. Покрытие конечно (или счетио), если оно состоит из конечного (счетного) числа множеств. .<4
Глава 1
ждают открытое покрытие пространства X. Поэтому существует конечное число индексов s1, s2, ..., sk ? S, таких, что
Г (CZil) U Г (Ui2) и ... Ur1(^) = X.
Взяв образы обеих частей этого соотношения, получаем C/Sl U US2 U .. • U U4 = V.
Подмножество A cz X компактно, если оно компактно как топологическое пространство с индуцированной топологией.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Топологическое пространство локально компактно, если каждая точка имеет компактную окрестность.
Ясно, что всякое компактное пространство локально компактно. Каждое дискретное пространство локально компактно. Прямая R локально компактна, так как каждая точка х ? R имеет окрестность N [например, N = (х — е, х + є)], замыкание которой по теореме Больцано — Вейерштрасса компактно.
Следующая важная теорема дает простую характеристику класса пространств, не являющихся локально компактными.
