Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 5. Пусть Я — гильбертово пространство, и пусть формула (3) задает расстояние в Я. Пусть т — набор открытых множеств, порождаемых шарами (4) согласно определению 3. Получаемая таким образом топология называется сильной топологией, а соответствующая сходимость — сильной сходимостью.
Пусть т — набор всех открытых множеств, которые являются объединениями «слабо» открытых сфер вида
\и ? Я: ,1(?, и — *)|<е, /г= 1,2,...,т\ (6)
для всех возможных выборов положительного числа е, положительного целого числа т и векторов ^1, ..., gm.
Получаемая таким образом топология называется слабой топологией в Я, а соответствующая сходимость — слабой сходимостью.
Заметим, что последовательность ип слабо сходится к нулю, если I (g, ип) I -*¦ 0 для всех векторов g из Я; в частности, последовательность ип = еп, где еп — базисные векторы в Я, слабо сходится к нулю, хотя она не сходится сильно.
Понятие слабой и сильной сходимостей в гильбертовом пространстве играет важную роль в теории представлений групп.
Хотя определения 2 сходимости последовательности и непрерывного отображения имеют силу для произвольных топологических .<4
Глава 1
пространств, они не являются в достаточной степени ограничивающими в каждом топологическом пространстве (X, т}. Например, в дискретном пространстве X каждая функция f: X Y, где Y — произвольное топологическое пространство, непрерывна, а в тривиальной топологии т = (0, X) всякая последовательность \хп], хп ? X, сходится к каждой точке х ? X.
Для того чтобы единственным образом определять предельную точку сходящейся последовательности, вводится аксиома отделимости (называемая также аксиомой отделимости Хаусдорфа).
определение 4. Топологическое пространство называется хаус-дорфовым пространством (или Trпространством), если для каждой пары различных точек X1 и X2 существуют окрестности U1 и U2, такие, что X1 ? U1, X2 ? U2 и U1 П U2= 0.
Дискретные пространства и вещественная прямая с естественной топологией являются хаусдорфовыми пространствами. Однако вещественная прямая R с топологией т = {0, R\ не является хаусдорфовым пространством.
утверждение 1. в хаусдорфсвых пространствах всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.
Доказательство. Пусть Xn -vXi и Xn -^x2. Предположим, что X1 =г= х2. Из аксиомы отделимости следует, что существуют окрестности U1 точки X1 и U2 точки х2, такие, что U1 п ^2 = 0. Из определения 2.1° сходящейся последовательности следует, что существует целое число N, такое, что при п > N Xn ? U1. Поэтому хп ф U2 при п > N и, следовательно, Xll-+* х2. Таким образом, X1 = х2.
Дополнением А' множества AaX является множество А' = Х\Л = \х'. х^Х и хФА\.
Множество А называется замкнутым в X, если его дополнение
Л' = Х\Л
открыто.
Из определения замкнутого множества и топологии т непосредственно следует, что во всяком топологическом пространстве пустое множество и все пространство являются одновременно и замкнутыми и открытыми. В дискретной топологии всякое подмножество как открыто, так и замкнуто.
Замечание. В определениях 2.1° и 2.2° можно было использовать замкнутые множества вместо открытых с соответствующими изменениями.
Замыкание А множества AaX — это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих Л, т. е. наименьшее замкнутое множество, содержащее Л. Топологические группы
77
Множество A cz X называется плотным в X, если A = X. Простым примером плотного множества является множество всех рациональных чисел в R.
Топологическое пространство X сепарабельно, если существует счетное множество А а X, плотное в X.
Пример 6. Пусть X — гильбертово пространство, снабженное слабой или сильной топологией, и пусть — счетный базис
в X. Поскольку линейная оболочка Л = ckek J, где ck раци-
со
ональныи Y I ck I2 <С °°> плотна в X, то X сепарабельно.
Г. Индуцированная топология, топология произведений и фактор-топология
Пусть X — топологическое пространство, 5 — его подмножество. Рассмотрим в S набор Ts множеств вида S {] U, где U — открытое подмножество в X. Пара (S, xs) удовлетворяет условиям 1°, 2° и 3° определения 1. Действительно, условие 1° удовлетворяется, поскольку 0 = S П 0 и S = S П X. Воспользовавшись соотношени ями
(SntZi)H(SnL2) = Sn(^ntZ2),
и (s n vk) = s п и uk,
k?K k(2K
сразу видим, что условия 2° и 3° определения 1 также выполняются. Таким образом, если рассматривать Ts как набор открытых множеств в S, то множество S превращается в топологическое пространство (S, Ts).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Топологическое пространство (S,ts) называют подпространством пространства {X, т}, а топологию Ts называют топологией, индуцированной топологией в X, или относительной топологией.
Пусть IX1, T1) и (X2, т2} — два топологических пространства, и пусть
X = X1 X X2 = Jx1, х2: X1 Q X1 и X2 ? X2} (7)
— декартово произведение пространств X1 и X2. Топологию произведения т на X определяем, выбирая в качестве базы для топологии т класс всех множеств вида VxU, где V Q T1 и U ? т2.
Очевидно, что таким же образом можно определить топологию произведения для любого конечного числа топологических пространств. В частности, топология на R1 (или С1) определяет топологию произведения на R" (или Cn). .<4
