Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
непрерывны в этой топологии. Следовательно, эта абелева группа является топологической группой.
Условие 3° выражает совместность алгебраических и топологических операций на множестве G. Следующий пример иллюстрирует, что это условие совместности не удовлетворяется автоматически на множестве, которое одновременно является и абстрактной группой, и топологическим пространством.
ПРИМЕР 2. Рассмотрим циклическую группу Cs = (1, х, х2).
Топологию определим при помощи следующих открытых множеств:
0, 11}, {х}, {1, х}, C3. (1)
Функция g (х) = X'1 преобразует элемент X2 в g (х2) = х. Поэтому обратная функция преобразует открытое множество {х} на множество {х2}, которое не является открытым. Следовательно, циклическая группа C3 с топологией (1) не является топологической группой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть G — топологическая группа. Множество HdG называется топологической подгруппой группы G, если
1) H — подгруппа абстрактной группы G,
2) H — замкнутое подмножество топологического пространства G.
Таким образом, тот факт, что G — не только абстрактная группа, но и топологическая группа, налагает на подгруппу H группы G новое условие, что она должна быть замкнутой. Условие 2 можно заменить другим эквивалентным условием: действительно имеем
Абстрактная группа G называется циклической, если каждый элемент группы есть степень некоторого элемента X группы, Т. е. gi = Xі, X ? G. .<4
Глава 1
утверждение 1. Подгруппа H топологической группы G, которая является открытым подмножеством в G, является также и замкнутым подмножеством.
Доказательство. Класс|левосмежных элементов х — это множество всех элементов X из G, удовлетворяющих условию х~хх' Q ? Н, х' ? X (т. е. X = х'Н). Это определение служит отношением эквивалентности, так что пространство G разлагается на непересекающиеся классы ^левосмежных элементов. Поскольку H открыта, то каждый класс левосмежных элементов открыт. Дополнение H состоит из объединения классов левосмежных элементов H и поэтому является открытым. Следовательно, H замкнуто.
Заметим, что не всякая абстрактная подгруппа H абстрактной группы G является топологической подгруппой группы G, рассматриваемой как топологическая группа. Например, абстрактная подгруппа H аддитивной группы R вещественных чисел, состоящая из рациональных чисел, не является топологической подгруппой, поскольку она не замкнута в R.
Топологическая подгруппа N топологической группы G называется инвариантной подгруппой, если для каждого п ? N и g ? G имеем
ц~лпц ? N, т. е. g"lNgczN.
Пример 3. Пусть GL (п, R) — группа всех вещественных несингулярных ti X n-матриц по отношению к умножению. Произвольный групповой элемент X = \xik\ можно параметризовать матричными элементами xik ? R таким образом, что GL (п, R) есть подмножество в Rn'. Выберем на GL (п, R) индуцированную топологию пространства Rn". Так как матричные элементы Zik для z = ху являются алгебраическими функциями хи и ylk, то закон композиции в G является непрерывным. Аналогично матричные элементы для X'1 являются рациональными несингулярными и поэтому непрерывными функциями х. Следовательно, GL (п, R), снабженная индуцированной топологией пространства Rn", является топологической группой.
Подгруппа G1 = {XI: к ? R, X =I= Oj образует однопараметри-ческую инвариантную топологическую подгруппу в GL (п, R). Рассмотрим подгруппу О (п) = {х ? GL (п, R), (x~l)ik = Xki}. Отображение /: х —>- хТх = е подгруппы О (п) является непрерывным; значит, прообраз /"' (е) = О (п) замкнутого множества е замкнут в GL (ti, R)-, следовательно, О («) является топологической подгруппой группы GL (п, R). Она называется ортогональной группой.
Аналогично следует, что группа GL (я, С) с индуцированной топологией С"2 комплексных несингулярных п X «-матриц является топологической группой. Топологические группы
85
Различные топологические группы могут быть гомеоморфными как топологические пространства; например, абелева группа G1, состоящая из матриц
как топологические пространства обе гомеоморфны пространству R2.
С другой стороны, можно получить различные топологические группы, выбирая различные топологии на одной и той же абстрактной группе. Это приводит к следующему понятию изоморфизма топологических групп.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Две топологические группы будем" называть изоморфными, если между их элементами существует взаимно однозначное соответствие, которое является изоморфизмом групп и гомеоморфизмом пространств (т. е. сохраняет открытые множества).
Топологические группы являются примерами так называемых однородных пространств.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Топологическое пространство {X, т} однородно, если для любой пары х, у Q X существует гомеоморфизм / пространства {X, т} на самого себя, такой, что f (х) = у.
Каждая топологическая группа G однородна, так как любые две точки х, у Q G могут быть связаны посредством левого сдвига
который, в силу единственности и непрерывности группового умножения, является гомеоморфизмом группы G.
Однородность топологической группы значительно упрощает изучение их локальных свойств. Достаточно исследовать локальные свойства топологической группы в окрестности одной точки, например в окрестности единичного элемента. Однородность тогда обеспечит выполнение этих свойств в любой другой точке.
