Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 1. Пусть X — произвольное множество, а % — семейство всех его подмножеств. Ясно, что {X, т} является топологическим пространством; говорят, что X имеет дискретную топологию, а (X, т} — дискретное (топологическое) пространство. Если т состоит из X и пустого подмножества 0, то полученная в результате топология называется тривиальной топологией на X.
ПРИМЕР 2. Рассмотрим вещественную прямую R и семейство т всех множеств UaR, подчиняющихся условию: для каждого х € U существует е > 0, такое, что интервал (х — є, х + є) а Cl и. Семейство т удовлетворяет условиям Г, 2° II 3° определения 1 для открытых множеств и генерирует так называемую естественную топологию вещественной прямой. Семейство т состоит из всех открытых интервалов с рациональными конечными точками, их конечных пересечений и произвольных объединений.
Векторное пространство X над полем К с топологией т на X называется топологическим векторным пространством, если отображения (х, у) -*¦ X + у пространства X X X в X и (Я, х) ->- Xx из К X X в X непрерывны в топологии т.
Б. Сходимость и непрерывность
Обычные определения сходящейся последовательности и непрерывной функции на языке открытых множеств формулируются следующим образом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. 1°. Последовательность \хп\, Xn ? X, сходится к пределу X ? X, если для всякого открытого множества U, содержащего х, существует число N, такое, что для п > N хп ? U.
2°. Отображение/: X Y топологического пространства |Х, т} в топологическое пространство {Y, т'} непрерывно, если для каждого открытого в Y множества U^x' прообраз /-1 (U) открыт в X (подобным образом определяется непрерывность в точке X ? X).
Непрерывное взаимно однозначное преобразование X на Y называется гомеоморфизмом *) (а также топологическим отображением), если f~l непрерывно. Другими словами, X и Y гомео-морфны, если каждое открытое множество в X имеет своим обра-зом_ открытое множество в Y и каждое открытое множество в Y является образом открытого множества в X.
*) Не следует смешивать это понятие с алгебраическим понятием гомомор физма. .<4
Глава 1
ПРИМЕР 3. Отображение [0, 1) Э * У = exP (2яіх) непрерывно и взаимно однозначно, но не является гомеоморфизмом, поскольку обратное преобразование не является непрерывным (другой пример см. в упражнении 1.5).
В. Метрические пространства
Покажем теперь, что общие определения 2.1° и 2.2° непрерывности и сходимости совпадают с обычными определениями, когда X — метрическое пространство. В этом случае понятие расстояния позволяет дать точную формулировку «близости».
Метрическим пространством (X, d) называется множество X, на котором определена вещественная двухточечная функция d (¦, •) (которую называют расстоянием между двумя точками), удовлетворяющая условиям 1° d (х, у) > О,
2° d (х, у) = О тогда и только тогда, когда х у, 3° d (х, у) = d (у, х),
4° d (х, у) < d (х, z) I d (z, у) для всех х, у, z из X. ПРИМЕР 4. 1° Двухточечная функция
d(x,y) =Itlxi-уAT2 (2)
на «-мерном евклидовом пространстве Rn и 2° функция
d (х, У) == il л: — у il = [(л- — у,х — у)\!1 (3)
на гильбертовом пространстве H со скалярным произведением (-,•) определяют метрику в конечномерном и бесконечномерном пространствах соответственно. (Другие примеры см. в упражнении 1.2.)
Мы говорим, что на пространстве определена метрика; на одном и том же множестве могут быть определены различные метрики.
Пусть X Q (X, d), и пусть г — положительное число. Множества
S(x, 0= [у G X: d(x, у)<г), (4)
S(x,r) = {y?X:d(x,y)<r} (5)
называются открытым и замкнутым шарами радиуса г с центром X [(4) называют также г-окрестностью].
Определение з. Говорят, что множество VaX метрического пространства (X, d) открыто, если оно представляет собой объединение открытых шаров. Топологические группы
75
В частности, каждый шар является открытым множеством; легко проверить, что набор т всех открытых множеств в метрическом пространстве (X, d) удовлетворяет всем аксиомам определения 1 и, следовательно, определяет топологию в X.
Если хпх, согласно определению 2.1°, то для каждого открытого шара 5 (х, є) имеем d (X11, х) < є при п > N. Значит, согласно признаку сходимости Коши, Iim хп = х. Обратно, если хп —v X в смысле Коши, то для каждого открытого шара 5 (х, е) существует N, такое, что при п >¦ N хп ? S (х, е); согласно определению 3, этот факт справедлив также для любого открытого множества V в (X, d), содержащего х. Следовательно, для метрических пространств определение 2.1° и обычное определение сходимости по Коши совпадают.
Очевидно также, что определение 2.2° непрерывности в топологическом пространстве (X, т) совпадает с обычным определением Коши, если X — метрическое пространство, а т — топология, заданная метрикой d.
Таким образом, определения 2.1° и 2.2° сходимости и непрерывности являются прямым обобщением на произвольные топологические пространства обычных определений Коши для метрических пространств. Фактически понятия окрестностей, сходимости и непрерывности необходимо избавить от более узкого понятия расстояния.
