Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Мы говорим, что топологическая группа G обладает топологическим свойством В (например, G компактна, связна, сепара-бельна, фактор-группа и т. д.), если G, рассматриваемая как топологическое пространство, имеет свойство В.
Наиболее важными топологическими свойствами группы G, с существенной ролью их в теории представлений групп, являются
У = TaX = ах, а = ух 1,
—і
(2) .<4
Глава 1
компактность и связность (см. § 1). С целью иллюстрации понятия компактности группы начнем с простого примера.
Пример 4. 1° Рассмотрим ортогональную группу О («). Вещественная п X «-матрица х = \хц,}, /,?=1,2,...,«, которая соответствует элементу группы X Q О (я), удовлетворяет условию
XtX = е. (3)
Оно означает, что столбцы матрицы х Q О («) можно рассматривать как ортонормированные векторы в Rn. Поэтому матричные элементы xik, i, k = 1,2, ..., «, подчиняются условию
п
? Ak = П, (4)
I,
т. е. элементы группы О («) могут быть представлены как точки на сфере S"2-1 радиуса ]/«. Набор всех точек на сфере, соответствующих точкам из О (н), является замкнутым множеством. Поэтому пространство группы О (п) является замкнутым ограниченным подмножеством пространства Rn2 в топологии, индуцированной топологией R"2. Следовательно, по теореме Больцано — Вейерштрасса группа О (н) компактна.
2° Подобным же образом доказывается, что унитарная группа U (/г) компактна.
Хотя топологическое пространство, лежащее в основе группы G, в Rn или Cn может быть ограничено, соответствующая топологическая группа тем не менее может быть некомпактной, поскольку G не замкнута. Например, однопараметрическую группу Лоренца можно параметризовать числами vie, где v — скорость системы отсчета, а с — скорость света; однако группа Лоренца некомпактна, так как интервал —1 <u/c <1. в котором группа определена, не замкнут.
Группа GL («, R) некомпактна, но локально компактна; действительно, отображение
?: x->detx, X Q GL (Аг, R), (5)
является непрерывным отображением GL (я, R) в R. Значит, прообраз Ijr1 (0) замкнутого множества {0} в R замкнут в Rn'. Дополнением для Ijr1 (0) в Rn2 является GL («, R). Поэтому GL («, R) — открытое множество в Rn'. Следовательно, GL (ti, R) некомпактна.
Однако она локально компактна, поскольку каждая точка открытого множества в Rn2 имеет компактную окрестность (см. определение 1.8).
Подобным образом следует, что GL («, С) локально компактна. Топологические группы
87
Ясно, что существуют топологические группы, которые не компактны и не локально компактны. Фактически они играют важную роль в теоретической физике.
Пример 5. 1° Пусть H — гильбертово пространство с сильной топологией т, определенной при помощи нормы Ii • Il = V(¦,¦)• Рассмотрим H как абелеву топологическую группу по отношению к сложению. В силу теоремы Глисона (§ 1, теорема 4) эта группа не является локально компактной.
2° Физический пример не локально компактной группы являет собой группа калибровочных преобразований классической или квантовой электродинамики. Пусть A11 (х) — векторный потенциал. Калибровочные преобразования
Л, (X)--A11 (х) -\-dv4 (*)
оставляют полевые величины Fliv = Avtil — Alliv инвариантными.
Ясно, что эти преобразования образуют группу G по отношению к сложению. Введя произвольную топологию в С, мы можем превратить пространство калибровочных функций в топологическое векторное пространство: это пространство не является локально компактным в силу теоремы Глисона.
Выведем теперь некоторые свойства связных топологических групп. Заметим прежде, что если G связна, то компонента единицы совпадает с G. С другой стороны, если компонента единицы содержит только единицу, то в силу однородности топологических групп все компоненты G являются множествами, состоящими из одной точки, т. е. G — полностью бессвязна. Множество рациональных чисел, рассматриваемое как абелева топологическая группа с относительной топологией вещественных чисел, является примером такой группы.
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Пусть G — топологическая группа, a G0 - ее компонента единицы (определение 1.10). Тогда G0 — замкнутая инвариантная подгруппа группы G.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО- Пусть С — связное подмножество в G; тогда хС и Cx, X ? G, также связны, поскольку левые и правые сдвиги являются гомеоморфизмами. Следовательно, XG0X"1, х ? G, является связной компонентой, содержащей единицу е группы G. Таким образом, xG0x~l совпадает с G0 для каждого х из G. Мы знаем, что любая компонента замкнута. Следовательно, G0 является инвариантной топологической подгруппой в G.
Подгруппа H топологической группы G называется центральной, если каждый элемент из H коммутирует со всяким элементом всей группы G. .<4
Глава 1
утверждение з. Если G — связная топологическая группа и H — инвариантная дискретная подгруппа, то H центральна. доказательство. Рассмотрим отображение GbH:
G3 gxg'1 € H, х?Н.
Этот гомеоморфизм преобразует связное множество в связное множество. Но связными множествами в H являются лишь одноточечные множества {*}. Поэтому образ группы G, содержащий х, должен совпадать с {х}.
