Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Барут А. -> "Теория представлений групп и ее приложения. Том 1" -> 18

Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 — М.: Мир, 1980. — 452 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapredstavleniyt11980.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 153 >> Следующая


2) Lc не является простой. Согласно лемме 2.4, Lc является во всяком случае полупростой и может быть разложена по теореме 3.6 в прямую сумму простых идеалов. Если L1 J- {0} — простое прямое слагаемое алгебры Lc, а о — сопряжение Lc по отношению к L, то OL1 также является простым прямым слагаемым алгебры Lc, так как [L3, CrL1 ] = 0. .<48

Глава 1

Исходная вещественная алгебра Ли L состоит из инвариантных по отношению к о элементов, т. е. из элементов вида X + оХ с X Q L1. Отображение X -*- X + оХ L1 в L является вещественным изоморфизмом, так как

X 4- Y-* (X + оХ).+ (У + оУ) = (X + У) + а (X + У),

аХ —»а (X -f- оХ) = аХ -}- о (аХ), а вещественно, [X, У1-ЧХ, Y] +OlX, У] = [Х + оХ, У + оУ].

Если бы Lc содержала еще другие идеалы, отличные от L1 и oL1; то L была бы прямой суммой вещественных идеалов. Поскольку L проста, это невозможно, поэтому Lc = L1 + OL1.

Последнее равенство следует также из соотношения [L1, OL1] = 0. Следовательно, вещественная простая алгебра Ли L изоморфна комплексной простой алгебре Ли L1, рассматриваемой как вещественная алгебра Ли Lf удвоенной размерности.

Из доказательства теоремы 1 следует, что комплексное расширение {LR)C вещественной простой алгебры Ли Lr, полученной в результате процесса Б, не является простым, тогда как комплексное расширение (Lr)c вещественной простой алгебры Ли Lr, полученной в результате процесса А, является простым. Следовательно, процессы А и Б дают непересекающиеся классы вещественных простых алгебр Ли. Процесс Б связывает с каждой комплексной простой алгеброй Ли L определяемую единственным образом вещественную простую алгебру Ли Lr, структурные константы которой можно получить непосредственно из структурных констант алгебры L. Таким образом, классификация всех комплексных простых алгебр Ли, которая дана в теореме 4.6, дает в то же время классификацию всех вещественных простых алгебр Ли, получаемых с помощью процесса Б. Чтобы завершить классификацию всех простых алгебр Ли, осталось классифицировать алгебры Ли, получаемые с помощью процесса А. В решении этой последней задачи важную роль играет компактная вещественная форма заданной комплексной простой алгебры Ли. Поэтому покажем сначала, что компактная вещественная форма алгебры L существует.

ТЕОРЕМА 2. Всякая полупростая комплексная алгебра JIu обладает компактной вещественной формой.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Ha, Ea, a Q А, — набор генераторов, удовлетворяющих коммутационным соотношениям теоремы 4.3. В силу 5° и 3° теоремы 4.1 имеем (Ea, ?_а) = 1 и (Ea, Ea) = 0. Значит векторы

Ua = i{Ea-\-E_a), V=F-E На = \На, a Q А, Алгебры Jlu

49

удовлетворяют условиям

(Ua, Ua) = -2, (.Vay Va) = -2, (Ua, Va) = о,

(Яа, Ha) = — (а, а)<0.

Поскольку (?к, E?) = 0 для (а + ?) + 0, отсюда следует, что форма Киллинга отрицательно определена на вещественном линейном подпространстве

Lk= S ^rAy. - г S RuUа. ~1" ? ?j7«, /?а — вєщєствєнньіє числэ. А Д ag А

Если X, Y Q Lk, то по теореме 4.3 коммутатор IX, F] снова выражается через элементы Ua, Va и Ha с коэффициентами, пропорциональными ./Va, р или (a, ?). Поэтому, так как и Nay р и (a, ?) вещественны, а форма Киллинга отрицательно определена, то подпространство Lk является вещественной компактной алгеброй Ли. Кроме того, имеем

L = Lk + і Lk,

т. е. L — прямая сумма подалгебры Lk и векторного пространства і Lk.

Дадим теперь явное построение всех простых вещественных алгебр, допускающих заданную простую комплексную алгебру L в качестве их комплексного расширения.

Пусть Lk — компактная форма комплексной простой алгебры

L, и пусть X1, X2.....Xn — базис Lk. Ясно, что базис }Х(},

рассматриваемый над С, служит также базисом в L.

Пусть P — линейное преобразование в L, которое переводит базис Xi, і = 1, 2, ..., п, в новый базис

Yl = PklXk, 1=1, 2, ..., п, (1)

в котором структурные константы Ckij, і, /', k = 1,2, ..., п, определяемые коммутаторами

[Yt, Ys] = C11lsYm (2)

вещественны. Каждому такому базису соответствует вещественная простая алгебра Lr, натянутая на генераторы Yi, ? = 1,2, ..., л, с коммутационными соотношениями (2). Задача классификации всех нензоморфных вещественных форм заданной простой комплексной алгебры Ли L сводится теперь к задаче отыскания всех преобразований вида (1) в Lk, которые приводят к неизоморфным вещественным алгебрам Ли (2). Эту задачу решает следующая теорема. .<БО

Глава 1

ТЕОРЕМА 3. Пусть L — комплексная простая алгебра Ли, Lk — ее компактная форма, а 2 — множество всех инволютивных автоморфизмов Lk. Линейные преобразования

P^VS=^-S + l±ll, (3)

реализуют все неизоморфные вещественные формы алгебры L, Два линейных преобразования P1 и P2, заданные при помощи (3), преобразуют Lk в две изоморфные вещественные алгебры Ли тогда и только тогда, когда

Pi = AP2R, (4)

где А — автоморфизм алгебры L, a R — вещественное преобразование в Lk.

(Доказательство см. в [296], §2 и 3.)

Два инволютивных автоморфизма S1 и S2 будем называть эквивалентными, если соответствующие преобразования P1 и P2 удовлетворяют равенств/ (4).
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 153 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed