Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
[А(х), Fj==O,
линейная оболочка Hk всех функций і|з? (х) образует инвариантное подпространство в Я (X). Таким образом, построение неприводимых представлений в Я (X) может быть осуществлено при помощи следующих шагов.
1. Построение удобной модели абстрактного фактор-пространства (2) и выбор надлежащей системы координат на X, такой, что метрический тензор ga? (х) диагонален.
2. Решение задачи (4) на собственные функции для оператора Лапласа—Бельтрами А (х).
3. Доказательство неприводимости и унитарности представлений TgIjJx (х) =%(g-1x), ассоциированных с совокупностью гармонических функций (х)}, X фиксировано.
Построение гармонических функций
Прежде всего введем удобную модель абстрактного фактор-пространства X = SO (p)/SO (р — 1). Модель должна быть транзитивным многообразием по отношению к группе и иметь те же размерность и группу стабильности, что и симметрическое пространство X. Выбираем сферу S"-1, вложенную в р-мерное евклидово пространство Rp и задаваемую уравнением
(х1)2 I-(X2)2H- ••• ; (л")2 1. (5)
Транзитивность сферы Sp-1 относительно группы SO (р) следует из того факта, что любой вещественный вектор х = (х1, х2, ..., лр), 364
Г лава 5
удовлетворяющий уравнению (5), может быть получен из вектора е1 = [1, 0, 0, ..., 0] при помощи матрицы вращения g (х), первый столбец которой g[ (х) = Xі. Поэтому любые два вектора х' и х", удовлетворяющие (5), могут быть связаны посредством матрицы вращения g = g (х') g (х")-1. Стационарной группой точки е1 = = [1, 0, 0, ..., 0] является группа SO (р — 1). Стационарной группой любой другой точки X гиперповерхности Sp-1 являегся группа
G0 ^g{x) SO (р-1) g-Цх),
которая при фиксированном g (х) изоморфна SO (р — 1). Следовательно, стационарная группа сферы Sp-1 та же, что и стационарная группа абстрактного фактор-пространства (2). Размерность X, определяемого согласно (2), есть
dim X = dim SO (р) - dim SO (p - 1) = p - 1
и равна размерности сферы Sf-1.
В общем случае существует много различных систем координат на сфере Sp'1. Оказывается, однако, что наиболее удобной является бигармоническая система координат, поскольку в этой системе не только оператор Лапласа—Бельтрами разделяется, но также подалгебра Картана диагональна, и поэтому гармонические функции можно выразить через одни только хорошо известные экспоненты и dJN, M (cos 6)-функции.
Бигармоническую систему координат на сфере Sp'1 построим при помощи рекуррентной формулы. Предположим, что р четно (р = 2п) и что мы уже построили систему координат для х'1, ..., x"2k'2 (k < п). Тогда выражение для переменныхх1, ..., х2к, удовлетворяющих (5), задается в виде
Xі = Xі sin G'% і = 1, 2, . . ., 2k —2,
= cos cos Qftj tpk ? f0> 2л), k = 2, 3, . . ., п, (5а)
X2k = Sintpfc Coseft, Qk Є [о, -J), a = 2, 3, . . л. Поэтому, полагая
х'1 = COS ф1,
х'2 = sin ф1, Ф^Ю, 2л),
и последовательно применяя процедуру (5а), мы получаем параметризацию всех координат для сферы Sp'1 для произвольной четной размерности р.
Если же р нечетно (р = 2п + 1), мы строим сначала координаты Xі (і = 1, 2, ..., 2п) при помощи метода, описанного выше Точное построение конечномерных неприводимых представлений 365
для р = 2л; получаем в этом случае соответствующие xk, k — = 1, 2, ..., 2 л + 1, согласно
Xі = Xi sinG'!+1, І = 1, 2, . . 2л,
.V2»+1 = cosG"+1, On+1 ? 10, 2л). ''
В дальнейшем мы будем обозначать совокупность углов (ф1, ф2,... ..., ф[р/21, G2, G3, ..., (Ир/2') через о), где квадратные и фигурные скобки означают следующее:
р
Г JL "I-J 2' ^ Р==2П' Ш
L 2 J - I р_1 і 2 }
—> если р = 2л-J-1, '
если р = 2л, л = 1,2,...
Метрический тензор ga? (Sp'1) на сфере Sp-1 индуцируется метрическим тензором gab (Rp) на евклидовом пространстве Rp, в которое вложена сфера Sp-1, и задается в виде
fiV,fl = gik (RP) DciXi (со) ClpXk (о), а, ? = 1, 2.....р- 1, (8)
где
gm (Rp) = Su,, і, k=l, 2, . . ., р,
а да обозначает частную производную по углу ф" при а = 1, 2, ..., [-f ], и по Є2, ..., дШ при а = [-?-], [J-] + 1, ...
'"' ' НИ* — ' соответственно.
При помощи формул (8) находим, что метрический тензор Sa? (Sp'1) диагоналей в бигармонической системе координат и имеет следующий вид:
1) SO (2п)
(S2"-1) = sitf 0»gxfc (S2»-3), х, X = 1, 2, . . ., 2п - 3, go, 2„ -і (S2-1) - Cos2 0"6а> .2п_ъ а = 1, 2, . . ., 2л, (9)
2/7—2 (S2"-1) = бе, 2,,-2. є = 1, 2, . ... 2л - 2;
2) SO (2л О
g*x(S2") = sin2 ^gnh (S2"-1), х, Я. = 1, 2, . . ., 2л - 1, ga, 2П (S2") - 6а> 2л, а = 1, 2, . . ., 2л. (10)
Поскольку метрический тензор ga? (S") диагонален в этой системе координат, оператор Лапласа—Бельтрами (3) может быть разложен на две или три части: 1) SO (2л)
^ii1 если р = 2 + 1, 366
Г лава 5
при п = 1
Д (S1) = д2/д (ф1)2,
при п = 2, 3, ...
Л2 д
Д (S2"-1) = (cos2 G")-1 —~ + (Sin2"-3 G" cos G")-1 — (sin2"~3 G" cos G") x
дер дв"
X^ + (sin2G«)-iA (S2"-3); 2) SO (2n+ 1), n= 1, 2, . . . A (S2") = (sin—і G"+1)-1 -Ar(Sin^G-I) + .
Здесь A (S2n~3) и A (S2"-1) — снова инвариантные операторы Лапласа—Бельтрами для групп SO (2п — 2) и SO (2п) соответственно, которые могут быть дальше разложены аналогичным образом. Поэтому с помощью метода разделения переменных можно выразить любую собственную функцию инвариантного оператора A (Sp) в виде произведения функций только одной переменной. Поскольку оператор Лапласа—Бельтрами A (Sp-1) равен оператору Казимира второго порядка (9.6.48) группы SO (р), его собственные значения Лгр. с точностью до множи-
