Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
т 2 г
нию Tl , определяемому фундаментальным весом/n = (1, 1, ..., 1,
й
0, ..., 0).
Кроме того, с помощью определения 8.6.1 и теоремы 8.6.1 получаем
СЛЕДСТВИЕ 1. Всякое неприводимое представление GL (л, С) является произведением Юнга поливекторных представлений.
г
В соответствии с (4) линейное пространство НТ, натянутое на компоненты тензора ранга г с заданной симметрией Юнга, образует инвариантное подпространство по отношению к G-Таким образом, предполагается тесная связь между индуцированными представлениями Tl'" и тензорными представлениями
г
группы G1 реализованными в пространстве H1. Действительно, имеет место
г
теорема 3. Пусть Hr — пространство тензоров ранга г по отношению к GL (и, С), которые обладают симметрией, задаваемой разбиением Юнга К = (Kll Ki, .... с г — K1 + K2 + • • •+ Kn.
г
Тогда представление GL (л, С), реализованное в Ht, эквивалентно представлению T1"1 со старшим весом
т .-= (K1, K2, . . ., К). (14)
1 2 г
Доказательство. Пусть х, х, ..., х —совокупность г независимых векторов из С". Тензор T с компонентами Tili ir =
1 2 г
= Xi Xio ... Xir не обладает симметрией по отношению к симметрической группе Sr. Следовательно, действуя на TiiiciJr идем-потентным оператором Юнга Y1, соответствующим разбиению К = (}^, K2.....Kn) с + K2 + • • •+ Kn — г, мы получаем ненулевой тензор T с этой симметрией Юнга; таким образом, Y7T ?
г г
Є НТ. Мы утверждаем, что элемент иЦ1 из Hr, единственная неисчезающая компонента которого задана при помощи (8), инвариантен по отношению к действию подгруппы Z группы GL (л, С). 356
Г лава 5
Действительно, рассмотрим действие однопараметрической под-
г
группы из Z в пространстве Нт, заданной, например, матрицами
О"
1
z 1
О
В силу соотношения (1), ZX = 1, 2, ..., г. Это дает
(15)
к к к к {х±, ZXi х,л>
к
Xn), k
(Тгг)
123 .
Є123 г+ 2Єцз ... г = 6123-
(16)
Пользуясь представлением (9) для компоненты (8) и равенством (16), заключаем, что компонента (8) инвариантна относительно действия подгруппы (15). С помощью (11) непосредственно проверяется, что действие любой другой однопараметрической подгруппы из Z также оставляет без изменения компоненту е12...г, также как и компоненту T-.--,—,—.. Следовательно, компонента (8)
l1jjij і j
Z-инвариантна, и поэтому элемент и"' представляет старший век-
г
тор в Ht. Проверка действия проектора Y% показывает, что для
г
любого элемента T в Нт, отличного от и'',1, можно легко найти однопараметрическую подгруппу в Z, которая преобразует этот
г
элемент. Значит, линейное пространство Ht имеет только один Z-инвариантный элемент, и поэтому оно неприводимо в соответствии со следствием 2 теоремы 8.2.2.
Для X ? С", k = I, 2, ..., г, и б
к к к к Sx = (SlXu б,х-г, . ., б,,лд.
б„
?D имеем
Таким образом, ввиду соотношений (8) и (14) действие T6 на компоненты (8) тензора T задается согласно
W2 --6Hm- (17)
Следовательно, согласно (8.2.18), старший вес т, ассоциирован-
г
ный с неприводимым представлением g Tg в IV , имеет вид т — (^1, X2, ..., Точное построение конечномерных неприводимых представлений 357
Ясно, что если т = т = (1, 1, ..., 1, 0, ..., 0), то теорема 3
сводится к теореме 2. Если т = (/, 0, ..., 0), представление T1'" может быть реализовано в пространстве полностью симметрических тензоров порядка f.
Представляется интересным, что в квантовой физике полностью симметрические представления используются для совокупности бозонов, а полностью антисимметрические представления — для совокупности фермионов. Представления с другими типами сим-метрий используются в так называемой парастатистике, или при описании систем со скрытыми переменными.
Замечать. Все неприводимые тензорные представления GL (п, С) остаются неприводимыми при сужении на подгруппы GL (п, R), U (р, q), p + q = п, U (п), SL (п, С), SL (п, R), SU* (2я), SU (р, q), p + q = п, или SU (п) как результат унитарного трюка Вейля.
В. Тензорные представления групп SO (п, С), SO (я), SO (р, q) и SO* (п)
Элементами ортогональной группы SO (п, С) являются матрицы, удовлетворяющие дополнительному условию
UU7 ^ SrS -----Л или gtjg,k = Sjk- (18)
г
Условие (18) предполагает, что в линейном пространстве Ht, натянутом на компоненты Ti i if тензора Т, существует новая операция, коммутирующая с групповым действием. Действительно, рассмотрим свертывание (след) тензора, задаваемое согласно формуле
-V = ТiiiSti "' V == 6lVVriI1Vs • ¦" 1V- (19)
Эта операция свертывания и групповое преобразование посредством элемента g ? SO (л, С) коммутируют:
(7Vn^ ¦• ir = Sik1Sik2SiuKi • • • Si^ Tkj2 ¦¦• =
= \k2gi3k3 ••• g с^Ду3 ¦ • ¦ Ur = g L1I:., ¦ • • -V-
= (TgT^)lali... ir. (20)
Операцию свертывания можно применять к любой паре индексов тензора {ТііІ2 __ іг\. Тензор ITiii _ ir\ называют бесследовым, если свертывание по любой паре индексов обращается в нуль. В силу равенства (20) под действием SO (п, Q бесследовые тензоры преобразуются друг в друга, и поэтому образуют инвариантное подпространство. Более того, имеем 358
