Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
При п = 2k + 1 имеем
mI1 2к mI1 >к-1 т2, 5"- т2, 2).--1 >' ' ' ' ITlki 2/^1 ПІкі 2k, mi, 2fe_i > "h, 2fc_2 > m2,4k-\ > • • • > mk 2/i_2 > j m /,, I и т. д.
Из коммутационных соотношений (43) следует, что действие всей алгебры можно воспроизвести, как только станет точно известно действие генераторов X2p+lt 2р, р = 1, 2, ..., [{ti — 1)/2] и Х2р+2) 2p+i, р = 0, 1, 2, ..., [(л — 2)12]. Теперь, при п = 3 и 4 действие этих генераторов нетрудно вычислить непосредственно; пользуясь этими выражениями, можно вывести формулы действия генераторов Х2р+1, 2р и Xiph2t 2«+i Для произвольного п. Поскольку эта процедура состоит в прямых алгебраических вычислениях, мы ограничимся тем, что приведем лишь конечные формулы (полный вывод см. В [653]).
Пусть mi (mi) — схема, получаемая из т заменой mjk на mik — 1 (m,k + 1). Тогда операторы X2p+li 2р и X2pf2i 2/ні определяются следующими соотношениями:
р P
X2p+i,2ptn = J1 А (гп/, 2p-i) 1 -Jj А (т2p_i — 1) m|p_і, /=1 /=і
р= 1, 2, . . ., [-^1], (50а)
р р
Х2р+2,2P+im = L B(mi.4p)mhp— E ?(m,i2p — \)тІр~\-іС2рт. /=і /=і
(506)
Используя обозначения
'"г. 2р-1 " ^p1 2р-1> 'Яр, 2р I 1 Ip, 2р> mP-I12р-1 -j- 1 = /р_і, 2р-1, mp-i, 2р I 2 Zp li 2/), (51)
mI, 2р—1 "I" P — 1--2р-1» mI1 2р + P--Л, 2р, 346
Г лава 5
определяем коэффициенты А, В и С следующими формулами:
X
1/2
P-I 11/2
^ (^г, 2Р-2 Ij, 2р_1 - 0 (//", 2р-2 + l j, 2p-l) I X
Г=1 J
P
П (/Л, 2/7 — 2р-1 — 1) (//•, 2р "Г h. 2p-l) Г=1
X {Д 2^1 - z>- 2^ 2^1 -2P-1 + 1)2]}
X ,211-1/2
В К, 2/,)
/•=1
/•=1
'12р- 1) п (?. 2р -ч 2р) [(/,. 2р - I)2 - * 2р]
Г+І
(52) 1/2
C9l
P Р+1
П 'г, 2р-1 П Ir_ 2„+1
г~1_/^l_
П/г. 2р('г. 2р-0
г=1
Из коммутационных соотношений (43) и выражений (50) для X2pfIi 2р и X2pf2.2/)1-1 мы можем затем получить явный вид любого генератора Xik алгебры Ли о (п). Непосредственными вычислениями, как и в случае и (п), можно проверить, что коммутационные соотношения для генераторов Xik выполняются. Кроме того, если предположить ортонормированность схем Гельфанда—Цетлина, ассоциированных с данным весом т, то генераторы Xtj удовлетворяют условию эрмитовости
Xij = -Xji.
(53)
Пример 1. Неприводимые представления алгебры Ли о (4). Схема Гельфанда—Цетлина в этом случае имеет вид
(54)
Ztt13 Ztt23 Ztt1 Ztt2
т = Ztt12 : J
Ztt11 M
где числа Zttj3 и Ztt23 являются фиксированными компонентами старшего веса. Из коммутационных соотношений (43) следует, что для Точное построение конечномерных неприводимых представлений 347
определения действия любого генератора достаточно задать действие X21, X32 и X43. Из (50) получаем
Хл;
-[
Х21га == і Afm,
Ztt1 т2
J
M
(J + M+l) (J — M+l) (Hi1-J) (J — /n2+ 1) (J + m2+l) (wt+J + 2)-|i/2
(2/ + 1)(2/+3) (J + l)2
X
X
In1 т2 J+l M
¦ т
(mi + 1) zh2
-[
J(J + I)
(J + M)(J — M) (^1 _j + l) (nh + J + l) (J — m2)(J + m2) +/2
Itii m2
J
M
(2J + 1) (2/ — 1) J2
X
X
Itl1 Ztt2
J-1 M
X,
32
Ill1 ІП2
J M
= Tl(J-M)(J + M + 1)]
1/2
/Zi1 Ill2
J
M + l
Zttl Ztt2
J
Л4 - 1
- -f K^ -M +[)(y + M)]V2
где, согласно (49),
Ztt1 > J > I Ztt2. |, J > M > —J,
a Ztt1, zzi2, J и УИ являются одновременно все целыми или все полуцелыми.
Пространство Hm представления (50) алгебры о (п) натягивается на базисные векторы (47) или (48) и является, по определению, неприводимым. Можно опять, как и в случае и (п), дать независимое формальное доказательство, используя метод Z-ин-вариантов.
Размерность неприводимого представления, определяемого компонентами старшего веса, находится по формуле Вейля (8.8.29). Максимальный набор коммутирующих операторов в простран- 348
Г лава 5
стве представления содержит следующие операторы: 1) 0(26 + 2):
C2 (26 + 2) C4 (26 +2) C2k (2ft+ 2) C'k (26 + 2)
C2 (26 4 1) C4 (26 + 1).-.C2(^i) (26+ 1) C2k (26+1) C2 (26) C4 (26) C2 (^1) (26) Ck (2k)
C2 (4) C2 (4) (55)
C2 (3) X21
2) 0(26 + 1):
C2 (2 + 1) Cl (26+1)... C2 (^(26+1) C2fc (26+1)
C2 (26) C4 (26) - - • C2 (26) Ck (26)
C2 (26-1) ••• C2^1 (26-1) ....................................(56)
C2 (4) C2 (4)
C2 (3)
X21
Здесь
C2i (p) = Tr X« (p) (57)
Ci (21) = вVr V,.....'""'XviXiv2 • - • X,- , (58)
где X2' (p) означает 2і-ю степень матрицы X (р) = (Xik (р)), составленной из генераторов Xik(p) группы 0(р), а є'і'і>'^2' •••¦ — полностью антисимметричный тензор Леви-Чивиты (см. гл. 9, § 4, Б). Следует отметить, что для группы О (26), в противоположность группе О (26 + 1), совокупность операторов Казимира (57) не обеспечивает набора независимых инвариантных операторов, и поэтому необходимо включить псевдоскалярный оператор (58). Спектры операторов (57) и (58) были даны в гл. 9, § 4, Б.
В общем случае, если компоненты старшего веса алгебры о (п), кроме (44), не ограничиваются другими соотношениями, то в пространстве представления, натянутом на схемы Гельфанда—Цет-лина, мы имеем
* = I + (59)
