Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
'T'
теля —2 даются формулой (9.4.64). Пользуясь этой формулой, получаем *)
xW--jWCw+"-aJ- <»>
Благодаря индуктивной конструкции оператора Лапласа— Бельтрами мы можем разделить переменные в задаче на собственные значения для оператора A (Sp-1) и получаем окончательно обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
2
d Sini2"-3) G" cos G" d
sin Є" cos 0" de" de" COS2 Є"
- її^-^-А)- + In (In + 2n - 2) ^n, l|M (O") = O (12)
1J Доказательство того, что это представление ассоциируется со старшим
весом т — ^Zj р j, 0, ..., Oy см. в разделе Б. Точное построение конечномерных неприводимых представлений 367
при р = 2п или
1 d
[ sin(2"
- Sin*2"-1) О"+1
de
__In (Zn+2/1 — 2)
>"+1 sin2 Є"+1
:-1) en+l de«+l
+ in* 1 (In* 1 + 2n - 1)] (G"+1) = O
(13)
при p = 2n + 1.
Поскольку спектр (11) оператора A (Sp-1) чисто дискретный, решения уравнений (12) или (13) принадлежат гильбертову пространству квадратично интегрируемых функций относительно меры
dp (Sp-1) = Ig(S^1)I1ZZdcD:
П cos Gfc sin'2*-3> 6k (Ifik П d(pl, р = 2п, fe=2 t=l
Tl
sin2"-1 G"+1 dO"+1 П CosGfc sin<2fc-3> GfcdGfc x fc=2
X Ildcf', p = 2n + 1. i=i
(14)
Полагая в уравнении (12)
xp'n (G") = tgl '"-11G" cos'" G" и (G")
mn' '/1-І
и вводя новую переменную у = —tg2 0", мы сводим (12) к стандартному гипергеометрическому уравнению и получаем
г])'" . (O") = tgl '"-11О" cos'" 0" X
ШП' п-1
>: 2^1 [ 4" (I Ln-1 I — in + П1п), -у (I 1П-11 — In — тп),
I11-I +п~ 1; -Ig2G"], (15)
при р = 2
^m1 (Ф1) = (2л;)-1/2 ехр (ітіф1),
We In, 1п~и тп связаны условием, что Ijv^j , (б") является
квадратично интегрируемой функцией относительно меры (14), т. е.
І тп I + І /л-і| = In -2s, s = О, 1, . . ., [-І- /„]
(16) ЗС8
Глава 10
Аналогично, полагая в уравнении (13) i])'"11 (0"+1) = tgz" (0"+!) >;
Vl
X cos',!+i (Q"+1) и (0"+1), мы сводим его к гипергеометрическому уравнению и получаем
іь|"+1 (G"+1) = tg'" Є"+1 cos'"+1 G"+1 ;<
1II
'< [ 2 V>> - U), T ('« - Ui -I- !). 'n -I-- tg2 0-1 ] (17)
с ограничением
In == Ui - k, A = O, 1, . . ., Uv (18)
Как решения (15), так и (17) могут быть выражены через dл?аг функции обычной группы вращения SO (3) (см. соотношение (5.8.1)]. Ортонормированные базисы в соответствующих гильбертовых пространствах H1" (S2"-1) и Я'"+1 (S2n) задаются тогда выражениями
1) SO (2л):
^;/::: !::п и=к1'2 Д о'" (20") п ехр (i9)
2) SO (2л -j- 1):
Y1».....'"+і И = ЛГJf sin1"" G"+1 n (G"+1) X
m}, ...,mn » ' n+1 "vi+X'
X П sin2-* (Gfc) dj (2Gfc) П ехр (irntf), (20)
k=2 " S=X
где iV„, Л',,+і — нормировочные множители, заданные согласно
п
Мп = 2лп П (4 Sr k- I)-1,
к=2
(2D
N„+1 = 4л« [2 (ln+1 + я) - 11"1 П (4 /г -I)-1,
Л* =2
а индексы J/г-, Mjb', Mft определены согласно ^ +^-2),
Mk = (m* 4- ік j 4_ ? _ 2), I1 = тъ
, (22) ЛП - у ('»* - /t-L - * + 2), к = 2, 3, . . я.
Л,+1 = ',.+і + " - 1, Мп+1 - In + ч - 1. Точное построение конечномерных неприводимых представлений 369
Здесь lk, k = 2, 3..... п + 1 — неотрицательные целые числа,
тк, к =- 1, 2, ..., п, — целые числа, удовлетворяющие условиям (16) и (18).
Б. Неприводимость и унитарность
Пусть H = L2 (Sp-1, р). Глобальные преобразования из SO (р) в H определяются посредством левых сдвигов, т. е.
Tgu (ж) = и (g'h-). (23)
Генераторы однопараметрических подгрупп g(ik) (6). определяемые при помощи равенства (1.41), согласно (23), имеют вид
Lik = Xidk-Xbdi, і, к = 1, 2, . . ., р. (24)
На совокупность всех генераторов Lik натягивается алгебра Ли группы SO (р) со следующими коммутационными соотношениями:
[Lij, Lrs] = бisLjr - J - SjrLis бIrLjs SjsLir.
Ясно, что
[A(Sp), Lj7I = O, i, I = 1, 2, . . ., р, (25)
так что на гармонические функции, ассоциированные с определенным собственным значением оператора A (Sp), натягивается инвариантное подпространство пространства Н. Покажем теперь, что это подпространство неприводимо; совокупность {L2fcj 2k_lt
k = 1, 2, ..., А7]} коммутативных генераторов образует подалгебру Картана в о (р). Используя соотношение (24) и вводя бигармонические координаты, получаем
і^sfc1 «-і =-j-, k= 1, 2, . . ., 1/yp]- (26)
Рассмотрим сначала группу SO (2п) и обозначим через Hln пространство, натянутое на векторы (19). В силу (19) и (26) всякий базисный вектор в Hlfl является весовым вектором с весом т = = (тп, /тг,..л, ••., іщ). Воспользовавшись (16), находим, что тп максимально (и тогда тп — In), если In^ = 0; в свою очередь в результате последовательного применения соотношения (16) это предполагаег, что тпЛ = /л„_2 = •¦• = In1 = 0. Следовательно, вес
m = (ln, 0,...,0) (27)
представляет старший вес в Hln. Любой другой допустимый старший вес в Htn, согласно (16), должен имегь вид
т' = (тп, In-тп, 0, 0, . . ., 0). (28) 370
Г лава 5
Однако обращение к соотношению (9.4.57) показывает, что только вес (27) дает собственное значение (11) для оператора Казимира второго порядка A (Sp-1). Таким образом, старший вес (27) является единственным. Следовательно, пространство представления H1'1 неприводимо.
