Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Следующий пример демонстрирует другую интересную реализацию канонических коммутационных соотношений (4).
Пример 1. Пусть H — гильбертово пространство функций комплексных переменных Z1, ..., Zn со скалярным произведением
(и, v) = J и (?) V (г) ехр (—zz) dz dz, (8)
п
dz dz = я-" П Axk dijk, zk = хк іцк. (9)
к— 1
Тогда отображение
"i-^-Jp «z (10)
определенное на аналитических функциях и (z) в Н, задает представление алгебры Ли (4). Точное построение конечномерных неприводимых представлений 373
Построение алгебр Ли из билинейных комбинаций операторов рождения и уничтожения
Физические величины наподобие энергии (3), момента количества движения Mij = Qipj — pflt и т. п. являются билинейными формами вида
Cifltaj.
Это наталкивает на мысль строить все базисные элементы X1 алгебры Ли L в виде таких билинейных комбинаций. Действительно, пусть а,-, і = 1, 2, ..., п, — совокупность бозонных операторов в гильбертовом пространстве Я. Положим Aij = a*aj. Тогда с помощью соотношений (4) получаем
IA1, Ан\ = SjkAii -SilAjk. (11)
Следовательно, в силу (9.4.2) набор {Аг/}", /=і образует совокупность генераторов алгебры Ли gl (п, С). Поскольку любая алгебра Ли является подалгеброй в gl (п, С), по теореме Адо любая другая комплексная или вещественная алгебра Ли генерируется подна-бором набора {Лг/}", ,¦=ь В частности, воспользовавшись (1.6), находим, что операторы
Mkk — alak, k=\, . . ., /г, Mkt = ClJ1Q1 -f QilUk,
Mki = і (ataі — a]ak),
k<l<zn, (12)
генерируют алгебру Ли и (п).
Аналогично, воспользовавшись (1.42), находим, что операторы
Xik = a*ak—alai (13)
генерируют алгебру Ли so (л). Явное построение генераторов алгебры sp (л) дано в упражнении 6.4.5.
С помощью операторов рождения и уничтожения можно также построить некомпактные алгебры Ли, такие, как и (р, q), so (р, q), sP (P> Я) и т. п. В качестве иллюстрации дадим построение генераторов для алгебр Ли и (р, q), которые часто используются в физике
частиц. Пусть щ, а% i, j = 1, 2, ..., р, и b;, b%, i, j = р + 1, ... •¦•> P + q, — наборы операторов рождения и уничтожения, удовлетворяющих соотношениям
[flf, а*] = Slj, J = б
(H)
і і 374
Г лава 5
а все остальные коммутаторы равны нулю. Определим совокупность А операторов при помощи таблицы, состоящей из билинейных произведений
ГЛ/
Л= At-І1
где г — произвольное вещественное число. Легко проверить, что элементы из совокупности А удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли gl (р + q, R), тогда как операторы
Mkk = Akk, к = 1, 2, . . ., л,
Mkt = Akl -f Alk, Mkl = і (Akt — Alk), k I р или р<к<1,
(16)
генерируют алгебру Ли и (р, q).
Пользуясь (7), можно построить затем представления всех этих алгебр Ли.
§ 5. Комментарии и дополнения
а. Алгебраический метод построения неприводимых представлений, рассмотренный в § 1, был разработан Гельфандом и Цет-линым в [322, 323]. Они выписали только конечные формулы, такие, как (1.14)—(1.19). Бэрдом и Биденхарном в [32] был дан интересный вывод этих формул, основанный на теории Вейля тензорных представлений, а также исправлены некоторые формулы в оригинальной работе Гельфанда и Цетлина. В 1965 г. Гельфанд и Граев обобщили и усовершенствовали этот формализм, им удалось вычислить матричные элементы глобальных конечномерных представлений GL (я, С); алгебраический подход они распространили также на теорию представлений некомпактных алгебр Ли. Мы излагаем эту теорию в гл. 11. Подробный анализ представлений алгебр и (л), so (л), и (л, 1) и so (л, 1) на языке схем Гельфанда—Цетлина был сделан Оттосоном [653, 654]. Пользуясь техникой Гельфанда—Цетлина, Холмэн и Биденхарн в [419] дали альтернативный вывод различных результатов для представлений и (л).
Между базисными векторами Гельфанда—Цетлина и компонентами тензора существует взаимно однозначное соответствие. Действительно, рассмотрим ассоциированные со старшим весом т = (т1п, /щп, ..., тпп) схемы Гельфанда—Цетлина (1.11) и образуем схему Юнга, которая содержит:
—a* Qj + rbij atb*
1 і
-b-Ct;
4- fb.
(15)
1 1 Точное построение конечномерных неприводимых представлений 375
в первой строке W11 символов 1, после которых
(т12 — тп) символов 2, . . ., (т1п— т1п_і) символов п,
BO второй строке TTl2I символов 2, после которых (Tii23 — тп22) символов 3, . . ., (т2п — т2п_і) символов п,
в k-й строке ml!k символов k, после которых
(mk,k+l- Tllkk) СИМВОЛОВ (k 1), . . ., (Tllkn-Tnkn^1) символов п.
Очевидно, что этот рецепт дает взаимно однозначное соответствие между базисными векторами Гельфанда—Цетлина и компонентами тензора; компонента тензора (2.14), соответствующая старшему вектору т, полученному этим способом, имеет старший вес т = = (т1п, TTi2ni ..., тпп) в силу соотношения (2.17). Соответствие между схемами Гельфанда—Цетлина и базисными векторами
I Ti1, ..., пп), определенными согласно (4.6), было установлено Холмэном и Биденхарном 1419].
б. Теория тензорных представлений простых групп Ли создана главным образом Вейлем [842]. Теория Вейля основывалась на связи между группой перестановок и линейными группами. Здесь мы изложили подход, опирающийся на понятие индуцированных представлений. Начало этому подходу положил Годеман, а окончательно он был разработан Желобенко.
