Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
независимых коммутирующих операторов, где -І- п (п — 1) иТочное построение конечномерных неприводимых представлений 349
f" 2 1 j — размерность и ранг группы О (п) соответственно.
Однако если компоненты старшего веса не являются независимыми, то некоторые из операторов (57) или (58) становятся функциями других и количество независимых коммутирующих операторов уменьшается. Например, если старший вес имеет вид
т (/,0.....0), (60)
то ввиду строения схем (47) и соотношения (56) всего п — 1 коммутирующих операторов
С2(п), C2 (л- 1), . ., C2 (3), X21 (61)
порождают кольцо коммутирующих операторов в пространстве неприводимого представления алгебры о (л), задаваемого старшим весом (60).
Заметим, наконец, что поскольку любой старший вес (44) со всеми целочисленными или всеми полуцелочисленными компонентами порождает, в подходе Гельфанда—Цетлина, неприводимое представление, этот формализм дает описание всех неприводимых конечномерных представлений алгебры о (ti).
§ 2. Тензорный метод
Многие физические законы, такие как уравнения Максвелла или Эйнштейна, наиболее компактно выражаются на языке тензоров — объектов, преобразующихся по конечномерным тензорным представлениям группы G физической симметрии.
В этом разделе мы устанавливаем связь между теорией тензорных представлений и теорией индуцированных представлений. В частности, мы даем классификацию всех неприводимых тензорных представлений групп GL (п, С) и SO (п, С). Ясно, что, используя теорему 8.3.1, мы получаем описание всех неприводимых тензорных представлений также для вещественных компактных и некомпактных форм этих групп, например U (р, q) и SO (р, q), р + <7 = л.
Тензорный метод не решает непосредственно практические задачи 1°—5°, указанные в введении. Однако он дает красивую связь между теорией представлений группы G и теорией представлений группы перестановок Sn. Эту связь нельзя увидеть при помощи других методов.
А. Тензоры
Пусть группа G реализована как матричная группа, т. е. G Э {gl = De] D-, і, k = 1, 2, ..., N. Величина T =
^7Vs.-.'П' L7V*.....'г ?С> ik==l> 2' * =1.2,-350
Г лава 5
..., г, называется тензором ранга г относительно группы G, если она преобразуется по следующему закону:
7V2- V = dM V (!)
12 12 Если TkT — тензоры ранга г, то C1T + C2T также является тензором того же ранга; следовательно, множество всех тен-
г
зоров данного ранга образует векторное пространство Ht. Из (1)
г
следует, что Ht является пространством, в котором реализуется тензорное произведение Tg 0 Tg 0 ... 0 Tg (г раз). Это представление называется тензорным представлением.
г
Следующее утверждение дает описание пространства НТ. Утверждение 1. Компоненты
Tt1I2 ...ir = х)х]2 .. . х\п ks = 1, 2, . . ., N, (2)
k
где х, k = 1, 2, ..., N, являются линейно независимыми комплексными N-мерными векторами, линейно порождают тензорное
г
пространство Ht всех тензоров T ранга г.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Компоненты Ti /о.....являются точками
k
в Сл'. Полагая х — ek, где ek — базисные векторы в Cn, мы полу-
г
чаем базис в Cnг. Следовательно, векторы (2) образуют базис в Hr.
Основным свойством тензоров, которое впервые обнаружил Вейль, является тот факт, что операция перестановок индексов I1, i2, ..., ir коммутирует с действием G в H'. Действительно, если s — элемент симметрической группы Sr и
(s7\'2 -Ir = TS C1I2 • ¦ іr) = Ts (Z1) S (f2) . . . S (.», (3)
то
«П'гЬ -1V == T's Cl)s Cs) ¦ ¦ • s Cr) =
ns (fcI)nsC2) ns^T = Us (ii)Us (,2) . ..Ds {ir)l s (ki) s(k2) -s (kr) =
s Cl) n Ci2) r>s Cr)
== Ds (I1)Ds (,2) •. -Ds {ir) (SThj2... kr =
Следовательно, те тензоры [Ti^ _ lr\, компоненты которых обладают свойством симметрии, соответствующим заданной схеме
г
Юнга, образуют инвариантное подпространство в пространстве Ht.Точное построение конечномерных неприводимых представлений 351
Таким образом, тензорные представления в общем случае являются приводимыми.
Говорят, что тензор T = {Ti [ ___ ,-г} симметрический, если
(sT)I1- ir = Ts («Уз ... g = TiiI2 ... Ir
для всякой перестановки s ? Sr индексов. Тензор является кососимметрическим, если
ST = (-1)6'Т, s?Sr, (4)
где 6S — четность перестановки s. Тензоры, кососимметрические по всем индексам, называются также поливекторами. Воспользовавшись идемпотентными операторами Юнга и соотношением (2), можно получить в некоторых случаях компактные явные формулы для компонент тензора с заданным свойством симметрии, соответствующим схеме Юнга. Действительно, например, компоненты симметрического тензора соответствуют схеме Юнга
и могут быть представлены в виде элементов тензорного произведения вектора х, т. е.
Ti1Z2...ir = XllXi2... Xir S T1 I, 1-і • (5)
Антисимметрические тензоры могут быть представлены при помощи определителей; например, величины
eU =
і і
xJ
2 2 Jfi Xj
-eU]' ХЄ сп, i,j = ...,nt
(6)
представляют компоненты кососиммегрического тензора второго ранга, ассоциированного со схемой Юнга g. В общем случае