Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
так что они играют роль 6-функций Дирака.
§ 4.4. Пусть М, N и R — п У л-матрицы. Покажите, что справедливы тождества
[а*Ma, а*Ма] = а*\М, N\a,
[aNa, a*Ra*) = a*(RTNT + RtN -J- RNt + RN) а,
[a*Na, aRa] = —a (RTN + RN) a, ^
[a*Ma, a*Ra*\ = —a* (RMT + RM) a*,
где a*Ma = atMikak и т. п.
§ 4.5. Пусть ai, at, і = 1, 2, ..., n — набор бозонных операторов. Покажите, что билинейные комбинации
Fij = а{а,-, Gtj = a*a, -J- ~ 6г/, Hij = а*а* (11)
удовлетворяют коммутационным соотношениям
[Gt/, Gkt] = 8jkG{t — бIlGjk, (12)
[Fli, Gki] = bikFn + HtkFil (13)
и образуют алгебру Ли sp (п, С).
§ 4.6. Найдите набор Mnm матриц, таких, что билинейные комбинации а*Мпта образуют
1) алгебру Ли и (л),
2) алгебру Ли so (я). Точное построение конечномерных неприводимых представлений
379
§ 4.7. Пусть операторы bk удовлетворяют антикоммутационным соотношениям
[bh bk]+ = О = [b*t, blU, [bi, b%]+ = бlkl, /,6 = 1,2_____п. (14)
Покажите, что представления алгебры (14) эквивалентны представлениям конечной группы порядка 2".
§ 4.8. Обозначим через Z+ множество положительных целых чисел, а через Ak, k ? Z+ — копию алгебры всех матриц ранга два с комплексными элементами. Пусть А = ® Ak, и обозначим
k(zz
через Ofe, р = 0, 1, 2, 3, каноническое вложение в А единицы а0 и матриц Паули о1, I = 1, 2, 3, из Ak. Покажите, что
bk = -у ctIcjZ ' •' (cr^ + io*)>
1 3 3 12 (15)
К = -у CTlO2 • • • сг|_1 (oi — iof)
удовлетворяют каноническим антикоммутационным соотношениям (14) с п = оо. Глава 11
Теория представлений алгебр Ли и обертывающих алгебр неограниченными операторами: аналитические векторы и интегрируемость
В данной главе мы излагаем общую теорию представлений алгебр Ли и обертывающих алгебр линейными неограниченными операторами в гильбертовом пространстве. Это одна из наиболее интересных и в то же время трудных областей современной математики. Она требует знания алгебры, топологии, функционального анализа и дифференциальных многообразий. Теория дает также строгую формулировку различных задач квантовой теории и физики частиц.
Даже в нерелятивистской квантовой механике такие наблюдаемые, как координаты, импульсы и угловые моменты, представляются дифференциальными операторами в частных производных, которые неограничены в пространстве физических состояний.
В § 1 рассматривается теория Гординга представлений алгебр Ли неограниченными операторами. В § 2 мы распространяем эту теорию на обертывающую алгебру;алгебры Ли. В частности, мы выводим фундаментальную теорему, которая определяет, когда элемент Y из E существенно самосопряжен.
Основное понятие аналитических векторов и аналитической доминантности операторов вводится в § 3. Здесь мы выводим ряд важных теорем об аналитических векторах для самосопряженных операторов и аналитической доминантности в алгебрах Ли и обертывающих алгебрах.
В § 4 мы вводим понятие аналитических векторов для представления T группы G и показываем, что аналитические векторы для представлений алгебр Ли и для представлений групп совпадают. Мы также показываем, что аналитические векторы для оператора Нельсона А = Xi H-----Ь х% d = dim L, также являются
аналитическими векторами для представлений групп.
В § 5 содержится критерий Нельсона об интегрируемости кососимметрического представления алгебры Ли L до глобального унитарного представления соответствующей односвязной группы Ли G.
В § б представлена красивая теория интегрируемости представлений алгебр Ли, разработанная Флато, Саймоном, Снелма-ном и Стернгеймером. Эта теория базируется на понятии слабой аналитичности и позволяет выразить условия интегрируемости Неограниченные операторы
381
в терминах свойств генераторов Ли алгебры Ли. В противоположность теории Нельсона в большинстве практических случаев она сводит задачу интегрируемости к задаче проверки простых свойств дифференциальных операторов первого порядка. Выведенный критерий интегрируемости может быть легко проверен в приложениях и важен для квантовой физики.
В § 7 излагается изящный метод явного построения плотного множества аналитических векторов для представления T группы G, используя решения уравнения теплопроводности на G. Это множество является общей инвариантной областью определения для алгебры Ли группы G и ее обертывающей алгебры.
Наконец, в § 8 описана техника Гельфанда—Цетлина для построения неприводимых представлений алгебры и (р, q), использующая диаграммный метод.
Приложения в квантовой теории рассматриваются в гл. 12, 13, 17, 20 и 21.
§ 1. Представления алгебр Ли неограниченными операторами
А. Общие свойства представлений алгебр Ли
В конечномерном случае представление Х->Т (X) алгебры Ли L определялось как гомоморфизм из L в gl (п, С), т. е. для X, Y из L и а, ? из C1 мы имеем
аХ + рК->йГ (X) + PTi(Y), (1
[X, Y] — [Г(X), T(Г)] = T(X)T(Y) -T(Y)T(X), (2)
где T (¦) — элемент из gl (л, С) (см. гл. 1, § 1.В). Равенство [T(X), T(Y)] = T (X) T(Y)-T (F) T (X) следует из того факта, что каждая алгебра Ли L является подалгеброй в gl (п, С), в которой коммутационные соотношения совпадают с [X, Y] =
