Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Г лава 5
утверждение 4. Всякий тензор [TjlI^ . ir] может быть
разложен единственным образом на бесследовый тензор T и тензор Q с компонентами
о - я р(12) L J h р(рч1 1
v,v'2 -"1v "" 1v2 'v4 •¦¦ v ' " ' г %''<? 'х ••• v-x'wi vivi " lr~r
+ • • • + ,?'-° if_t (-"Г-- w). (21)
т. е.
T=T + Q.
Зшо разложение инвариантно по отношению к SO (п, С).
г
доказательство. Введем в пространстве Hr всех тензоров ранга г скалярное произведение (•, •) при помощи формулы
(Т, Т') = ТІ1І2...ІТ-1І2...ІГ (22)
г
Пусть Ж — подпространство в Ht, состоящее из всех тензоров вида (21). Тензор T ортогонален к подпространству Ж, т. е.
(Т, Q) = Tiy2... irQh!2... іг = О, (23)
если все следы тензора T исчезают. Действительно, для определенного Q ? Ж, такого, что только Я(12> Ф О, равенство (23) предполагает, что Т(12> должно равняться нулю. Перебирая последовательные неисчезающие члены в (21), мы видим, что все следы T(i"''> тензора T должны равняться нулю. Следовательно, линейное
о Г
множество всех бесследовых тензоров T ? Ht образует под-
г
пространство, ортогональное Ж. Поскольку все пространство Ht является суммой Ж и Ж1-, произвольный тензор T можно единственным образом представить в виде
T = T + Q, Т?ЖХ, Я?Ж. (24)
о
Поскольку T образуют инвариантное подпространство, разложение (24) инвариантно относительно SO (п, С) по теореме Вейля о полной приводимости.
Последовательно применяя утверждение 4 к тензорам R(pq) и т. п., получаем инвариантное разложение произвольного тензора T на бесследовые тензоры ранга г, г — 2, г — 4 и т. д.
По отношению к действию симметрической группы Sr бесследовый тензор преобразуется в другой бесследовый тензор. Таким образом, мы предполагаем, что неприводимые представления SO (п, С) реализуются в линейном подпространстве про-
г
странства Hr, которое натянуто на компоненты бесследового Точное построение конечномерных неприводимых представлений 359
тензора [Ті і ir\ с заданной симметрией Юнга, определяемой разбиением (^1, K2, ..., Kn) числа г = + K2 + • • • + Kn.
Прежде всего находим индуцированные представления, соответствующие поливекторным представлениям.
Теорема 5. Тензорное представление группы SO(п, С), n = 2v
г
или п = 2v + 1, реализованное в линейном пространстве H7 всех поливекторов ранга г, ассоциированных с диаграммой Юнга
г гт
К = (1, 1, ..., 1, 0, ..., 0), эквивалентно представлению TL'n, (Я
г
ассоциированному со старшим весом т = (1, 1, ..., 1, О, ...,0).
м
г п—г
Тензорные представления KuK эквивалентны.
г
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пространство Hj натягивается на базисные векторы ei t ir, определенные при доказательстве теоремы 2. Поскольку Ьх = (S1X1, 82х2, ..., Ьпхп), мы получаем
(TV)lll2 - "V = б<-А ' • • Vv2 ¦' ¦ 'V,
(25)
Т. е. ВСЯКИЙ вектор Єї I ir является весовым вектором. Группа SO (п, С) сохраняет форму
xIx п ' Г x^n-V " ] ~ • • • Ь xIixU (26)
так что однопараметрические подгруппы в Z теперь имеют, например, такой вид
1 О
z 1
О
СГ
1 О
-Z 1
(27)
а все другие однопараметрические подгруппы в Z получаются при
T О
помощи надлежащих перемещений «активных блоков»
1 0I-
-Z Ij
Действие (27) на вектор х ? С" следует из (11). Отсюда, подобно (16), имеем
(Тке)і2з--т==Єі2з-- г-\-гет...г — геіо3.. n-i,n-\ = ?123---1-. (28) 360
Глаза 10
т.е. Tz воспроизводит 123... г* Аналогичный результат имеет место для всех остальных однопараметрических подгрупп в Z, действующих на вектор г123... г. Таким образом, е123...г является инвариантом подгруппы Z. Можно проверить, что любой вектор
г
в Hr, отличный от е12... г, не инвариантен относительно Z. Следовательно, е12...г—старший вектор. Ввиду соотношения (25) соответствующий старший вес имеет вид
т = т = (1, 1, . ¦ ., 1, 0, . . ., 0). (п
Пусть теперь \eiLi2... іп_гЬ г <ІЛ'> является поливектором,
Il—г
ассоциированным с диаграммой Юнга К = (1, 1, ..., 1, 0, ..., 0).
Тогда Єіа...п-r — старший вектор, согласно предыдущим рассуждениям. Соответствующий целочисленный старший вес, согласно (25), имеет вид Lm = бхб2 ... бп_г. Но для SO (п, С) элемент б подгруппы D должен сохранять форму (26); это предполагает ограничение б, = б„_г+1 для произвольного п и дополнительное
п—г
ограничение 6V+1 = 1 для я = 2v + 1. Значит, Lm = бхб2 ... бг ==
г
= Lm1 г << V. Следовательно, представления, определяемые диа-
г п—г
граммами Юнга К и К, г эквивалентны в силу теоремы 8.2.2.
г
Замечание 1. Заметим, что для SO (2v 4- 1) старший вес т,
г
г <; л», соответствующий поливекторному представлению К, совпа-
г
дает с фундаментальным старшим весом т, заданным согласно
(V)
(8.6.4). Однако поливекторное представление X = (1, 1, ..., 1) =
(V)
= т задано при помощи произведения Юнга спинорных представлений; действительно, из соотношения (8.6.4) имеем
(V) V V
Lm =Lm-Lm. (29)
г
В случае группы SO (2v) поливекторное представление К совпадает с фундаментальным представлением (8.6.5) при г -< л' — 1. Пред-
