Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Барут А. -> "Теория представлений групп и ее приложения. Том 1" -> 122

Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 — М.: Мир, 1980. — 452 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapredstavleniyt11980.djvu
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 153 >> Следующая


(V—1) (V)

ставлення К и К являются произведениями Юнга спинорных представлений; действительно, согласно (8.6.5), имеем

(v-l) V-I V (V) V-I V-I

L т = Lm Lm и Lm =LmLm . (30)

г

Замечание 2. Эквивалентность поливекторных представлений Я

п~г

и к, Г < V, является обобщением хорошо известного в физике Точное построение конечномерных неприводимых представлений 361

факта эквивалентности относительно вращения между трехмер-

1

ным вектором [Ti] (—А = (10 0)) и кососимметрическим тензором [Tij] [Л = (1 1 0)].

Следующая теорема дает связь между тензорными представлениями и индуцированными неприводимыми представлениями.

Теорема 6. Представление Tl"1 группы SO (п, С), п = 2v или п = 2v + 1. задаваемое старшим весом т = Im1, т2, ..., mv) (с целочисленными компонентами), эквивалентно тензорному представлению, реализованному в пространстве бесследовых тензоров-.



?=1

с симметрией Юнга, определяемой разбиением А = (mlt т2, ..., mv).

доказательство. Представление Tl"1, для которого т, являются положительными целыми числами, может быть реализо-

11 k

вано как произведение Юнга представлений Tl'71 с т = = (1, 1, ..., 1, 0, ..., 0), k = 1, 2,.., v. Пространство, в котором

W) '

реализовано произведение Юнга представлений, натянуто на

(fc>

произведение базисных векторов представлений Tl"1 [см. замечание после соотношения^ (8.6.2) ]. Таким образом, компонента

mv множителей

""¦'ШІШЗ (31)

где е12... s заданы при помощи (7), является старшим вектором и™ cm = (іщ, т2, ..., тг). Этот вектор обладает симметрией Юнга, определяемой разбиением %. = Ц, іщ, ..., tnr). Пространство тен-зоров, ассоциированное с представлением Tl , получается из старшего вектора (31) по формуле (8.2.21). Поскольку действие группы коммутирует с перестановками, полученный тензор обладает симметрией, определяемой разбиением А = (mlt т2, ..., тг). Наконец, поскольку пространство представления неприводимо, полученный тензор должен быть бесследовым.

Представления SO (п, С), задаваемые старшими весами с полуцелочисленными компонентами, являются спинорными представлениями и не могут быть описаны на языке диаграмм Юнга. Остальные старшие веса имеют целочисленные компоненты. Следовательно, теорема 6 дает описание всех тензорных представле- 362

Г лава 5

ний группы SO (я, С). Это дает также, согласно теореме 8.3.1, описание всех неприводимых тензорных представлений групп SO («), SO (р, <?), р + q = п, и SO* (я).

§ 3. Метод гармонических функций

Мы показали, что для группы вращений SO (3) базисные векторы ем пространства Hj неприводимого представления могут быть реализованы при помощи сферических гармонических функций Ym (0, q), определенных на симметрическом пространстве X = SO (3)/S0 (2). Эта реализация чрезвычайно полезна при решении различных задач теории представлений и в физических приложениях. Мы предполагаем поэтому, что реализация базисных векторов в пространстве представления H в виде общих гармонических функций 1), которые являются собственными функциями максимального набора коммутирующих операторов в Н, будет полезна также для других групп.

А. Гармонические функции для SO (р)

В этом разделе мы подробно рассмотрим теорию представлений группы SO (р) в подходе гармонических функций. Этот подход фактически является непосредственным распространением метода гармонических функций для SO (3).

Симметрические пространства и теория представлений

Из табл. 1 в гл. 4, § 2 следует, что существуют две последовательности симметрических пространств X, которые можно связать с группой SO (я):

Согласно теореме Гельфанда—Шевалье (см. гл. 9, § 6, Б5), число генераторов кольца инвариантных операторов в обертывающей алгебре в пространстве H = L2 (X, р) равно рангу симметрического пространства X. Таким образом, конструкция представлений будет наиболее простой в симметрических простран-

1J Термин «гармонические функции» иногда употребляется (в математической литературе) для обозначения собственных функций инвариантных операто-

ров C1, .... Cfj с пулевым собственным значенном, т. е. решений уравнения CpU =O, р = 1, 2, ..., N [например Ли -- 0]. Мы будем использовать этот термин для обозначения всех собственных функций Ср.

ранг размерность X Точное построение конечномерных неприводимых представлений 363

ствах ранга один. Изучение табл. 1 показывает, что симметрические пространства ранга один для SO (р) мы получаем только в следующих случаях:

X = SO(p)/SO(p — 1), X1 = SO (A)IU (2) и X2 = SO (6)/1/ (3).

(2)

Теорема 9.6.2 утверждает, что в симметрических пространствах ранга один кольцо инвариантных операторов в обертывающей алгебре генерируется одним только оператором Лапласа—Бель-трами. Этот оператор имеет вид

A M = I ё Г1/2 даёаР (*) I g |1/2 др> (3)

где ga? (х) — левоинвариантный метрический тензор на X, и g (х) = det [ga? (х) ].

Пусть яр- (х) — собственные функции для А (х), т. е.

A(*)i|:,. (X) =--=/.%.(*). (4)

Тогда, поскольку любой генератор Y группы SO (р) коммутирует с А (х),
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 153 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed