Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
= XY — FX.
Одной из основных трудностей в общей теории представлений алгебр Ли является тот факт, что во многих важных случаях представители T (X) элементов алгебры Ли заданы неограниченными операторами (см. пример 1). Поэтому мы должны рассматривать задачу выбора собственной общей области определения D для множества неограниченных операторов. Это фундаментальная проблема функционального анализа. Обзор основных результатов функционального анализа дан в приложении Б. Читателей, не знакомых с этими результатами, мы отсылаем к этому приложению.
Поскольку мы хотим рассматривать наряду с представителем T (X) сопряженный оператор T (X)*, общая область определения D должна быть плотной в пространстве представления Н. Однако 382
Г лава 5
область определения не может совпадать со всем пространством, так как на таких областях определения определены только ограниченные операторы (см. приложение Б, лемма 1.2). Более того, поскольку мы хотим определить коммутатор T (X) T (F)— T (F) T (X) для представителей T (X) и T (Y), область значений R (Т (X)) должна лежать в D для любых X из L. Поэтому область D должна быть инвариантной. Следовательно, мы приходим к следующему общему определению представления абстрактной алгебры Ли L.
Определение 1.- Представление T алгебры Ли L в гильбертовом пространстве H — это любой гомоморфизм X T (X), X ? L, из L в множество линейных операторов, имеющих общую линейную плотную инвариантную область определения D.
Определение 1 означает, что для произвольных X, F из L, а, ? из C1 и и из D имеем
T (аХ -f ?F) и = аТ (X) и-| ?T (F) и, (3)
T ([X, F]) и = [Т (X), T (F)] и = (Т(X) T(Y)-T(Y)T (X)) и. (4) Заметим, что, согласно (4),
[T(X), [T(Y), T (Z)]\ и 4- [T(Y), [T(Z), T (X)]] и+ + [T(Z), IT(X), T (F)]] и = О,
т. е. тождество Якоби выполняется автоматически.
Поскольку область D инвариантна, любое представление T алгебры Ли L может быть расширено до представления обертывающей алгебры.
Множество N = T'1 (0) с: L является идеалом в I. В самом деле, если X G N и F ? N, то T ([X, F]) = [Т (X), T (Y) ] = О, т. е. [X, Y] ? N. Поэтому, в частности, нетривиальные представления простых алгебр Ли точны, т. е. отображение X ->- T (X) взаимно однозначно.
Представление T алгебры L называют кососопряженным (косо-симметрическим), если гомоморфизм X-^-T (X) отображает L в множество кососопряженных (кососимметрических) операторов. Ясно, что в кососопряженном представлении T операторы і T (X) самосопряжены (эрмитовы) и удовлетворяют коммутационным соотношениям с чисто мнимыми структурными константами.
Представление T топологически неприводимо, если не существует собственного замкнутого подпространства H' а Н, содержащего общую линейную инвариантную относительно L область определения D' a H', которая плотна в H'.
Пример 1. Пусть L — алгебра Ли группы Пуанкаре, и пусть H = L2 (Q), где Q — четырехмерное пространство Минковского. Коммутационные соотношения для L даны в (1.1.23а—в). Можно Неограниченные операторы
383
проверить, что следующие формальные дифференциальные операторы
Milv = Xydyi —хА, /V = 0H- V, р=0, 1, 2, 3, (5)
где дц = д!дх>-1 удовлетворяют этим коммутационным соотношениям. Чтобы получить представление T алгебры L, следует определить общую плотную линейную инвариантную область определения D для операторов (5). Мы можем взять одно из следующих двух плотных подпространств в L2 (Q):
Ij D = Co(Q), (6)
2° D = S (Q); (7)
здесь 5 (Q) — пространство Шварца С00 (й)-функций <р (х) с
supA I XrjDhi (х) I < оо, (8)
где
Л = X0 A1 X2 A3 , ^yj
Dp = дт!д^' 0л(5' дл|% I ? I = р0 + Pi +1? + Рз, (Ю) <V P1X = O, 1, 2, . . р = 0, 1, 2, 3.
Легко проверить, что все генераторы (5) кососимметричны на этих областях и что эти области инвариантны для операторов (5).
Б. Теория Гординга
Рассмотрим теперь стандартный метод построения общей линейной инвариантной плотной области определения для представления X T (X) алгебры L, задав представление х Tx соответствующей группы Ли G. Пусть X (t) = ехр (tX), X ? L, — однопараметрическая подгруппа в G, a Tx — соответствующая однопараметрическая подгруппа операторов. Если для и ? Я
существует Iim Ґ1 (Tw/, — I) и, то действие генератора T(X)
<->0
подгруппы Tx(I) определяется формулой
T (X) и = Iim Г1 (Tx (п - /) и X (t) = ехр (/X). (11)
Множество всех и ? Я, для которых правая часть соотношения (11) определена, называют областью определения для T(X).
Пусть С~ (G) — множество всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в групповом пространстве G, и пусть T (ф), ф ? Q0 (G), — новый «сглаженный» оператор, 384
Г лава 5
определенный формулой (теорию интегрирования операторных функций см. в приложении Б.2)
T (ф) и = j ф_(х) Тхи dx, и Є Я. (12)
а
Обозначим через Da линейное подпространство, натянутое на все векторы и (ф) = T (ф) и, и ? Н. Следовательно, для и (ф) Є Da имеем
Т„и (ф) =-= и (Lyф).
В самом деле,
TyIi (ф) = j ф (х) TyxIi йх = } ф (Ij1Z) TzIi dz = J (L,?) (z) TzU dz. (13)
