Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Пользуясь аналогичными аргументами и соотношениями (16) и (18), можно показать, что в пространстве Я'"+1, натянутом на базисные векторы (20), реализовано неприводимое представление группы SO (2л + 1), определяемое единственным старшим весом т вида
т = {1п+ъ 0,...,0). (29)
Глобальные представления группы SO (р), определенные в Hln или Htn+1 при помощи равенства (23), унитарны в силу инвариантности меры р на Sp-1.
Замечание 1. Неприводимые представления группы SO (р), р = 2л или р = 2л + 1, определяемые старшим весом (27) или (29), в силу теоремы 2.6 соответствуют тензорным представлениям, задаваемым разбиением Юнга К = (A1, 0, ..., 0) с K1 = In или 1п+1. Следовательно, представления в H1'1 или в H1'1+1 эквивалентны тензорным представлениям, реализованным в пространстве симметрических тензоров ранга In или /,нТ соответственно.
Замечание 2. В общем случае максимальный набор коммутирующих операторов для SO (р), в силу (1.55) и (1.56), содержит
«2_ ]
р2/4 (р четно), или — ^— (р нечетно) операторов.
Для этих специальных представлений максимальный набор коммутирующих операторов является наименьшим и состоит из
A[SO(p)], A [SO(p — 2)], . . ., A [SO (4)] при р четном,
A[SO(p)], A [SO (р-1)], A [SO (р — 3)], ..., A [SO (4)] р ~ при р нечетном, р >> 3, . A [SO (3)] при р == 3
H = 2Л-1 —--' /г==1' 2' • ¦
Набор H состоит из операторов подалгебры Картана. Спектры
собственных значений /9, ___, Ii р л, ш 1, ___, шг р і определяются
1~) t-jf)
соотношениями (16) и (18).
Бигармоническая система координат является, по-видимому, наиболее удобной с точки зрения физических приложений; если Точное построение конечномерных неприводимых представлений 371
с каждым оператором, входящим в максимальный набор коммутирующих операторов, ассоциировать физические наблюдаемые, то тем самым фактически будет выявлено максимальное число линейных законов сохранения, поскольку всякий оператор подалгебры Картана диагонален в бигармонической системе координат.
§ 4. Метод операторов рождения и уничтожения
В элементарной квантовой механике одной частицы с сопряженными динамическими переменными р и q, [р, q] = —і, хорошо известно, что операторы, определяемые в виде
+ cff^Yf(cI-iP) (!)
и называемые соответственно операторами уничтожения и рождения, удовлетворяют коммутационному соотношению
[а, а*]= 1. (2)
Своими названиями они обязаны тому факту, что гамильтониан H = р2/2 + q2/2 линейного гармонического осциллятора принимает вид (в единицах /но = 1, т = 1)
H = а* а + , (3)
так что если | 0) (= я1/* ехр [— V2 A2J) — основное собственное состояние оператора H с энергией V2, то а* ] 0) является другим собственным состоянием H с энергией (1 + V2), a*?*|0) — собственным состоянием с энергией (2 + V2) И Т. Д. Кроме того, а (а*п) I 0) пропорционально a* 10) и а | 0) = 0. Таким образом, а* рождает одну единицу «возбуждения» (т. е. повышает энергию), а а уничтожает одну единицу «возбуждения» (понижает энергию).
Понятно, что алгебра Ли (2) эквивалентна алгебре Гейзенберга 1 р, q] = —і.
Соотношения (1), (2) и (3) легко обобщаются на совокупность независимых операторов рождения и уничтожения:
Iait а,-] = [а*, а,-] = 0, [а?, a]] -=6.,-, i, / = 1, 2, . . ., N, (4)
и
N
H=%ahi-\-N/2, (5)
і 1
так что собственные состояния оператора H содержат Ii1 возбуждений типа 1, п2 возбуждений типа 2 и т. д., то есть
<,г|<"2---«>|°)- (6) 372
Г лава 5
Операторы ai, a*i называются также бозонными операторами. Чтобы пояснить эту терминологию, реинтерпретируем состояния (6) следующим образом. Рассмотрим квантовую механику N тождественных частиц. Пусть і -— индекс, обозначающий совокупность квантовых чисел, характеризующих состояния одной частицы (эти квантовые числа могут быть дискретными или непрерывными с соответствующими областями изменения); другими словами, полным набором одночастичных состояний являются Фі, і — 1, 2, .... Согласно общему постулату квантовой теории неразличимых частиц, различными состояниями системы N тождественных частиц являются только те, которые характеризуются числом частиц nt в состоянии ф/? і = 1, 2, .... Таким образом, состояние (6) можно интерпретировать как Az1 частиц в состоянии Фі, ti/ частиц в состоянии ф2 и т. д. Следовательно, а% рождает частицу в состоянии k, ak ее уничтожает.
Пусть H — пространство состояний системы бозонов с базисными векторами I пг, щ, п3, ...), нумеруемыми числами заполнения, а V — пространство одночастичных состояний. В H операторы at и aJ действуют следующим образом:
щ\пъ пі, . . ., Пп) = V AZi I AZ1, . . ., Щ_ъ H1 — 1, AZ141, . ., A In),
__(7)
0*1 I AZi, AZ2, . . ., Аг„) = ]/п?-Ь 1 I AZl, • ¦ -, AZ1Vb AZf -f 1, AZi+l, . . ¦).
Непосредственные вычисления показывают, что из этих равенств действительно получаются коммутационные соотношения (4). В 20.2 мы покажем, что с точностью до эквивалентности существует только одно неприводимое (интегрируемое до группы) представление канонических коммутационных соотношений (4).
