Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
GG G
Теорема 1. Пусть T — представление группы Ли G в гильбертовом пространстве Н. Тогда
1° подпространство D0 плотно в Н,
2° подпространство Da является общей линейной инвариантной областью определения для генераторов однопараметрических подгрупп из G.
Доказательство. 1°. Пусть ф ? Q0 (G) с носителем К такая, что
ф > 0, ф (х) dx = 1. jK
Тогда, согласно (12), для любого и из H имеем и (ф) — и = J ф (х) (Tx — Г) и dx.
а
Поэтому
Il и (ф) — и I« max Il Тхи — и ||.
х€к
Следовательно, если К стягивается к единице е в С, то, согласно непрерывности Txt и (ф) -у и. Поскольку и — произвольный вектор из Н, то множество Da векторов (2) плотно в Н.
2°. Пусть у (t) = exp (tY) — однопараметрическая подгруппа в G. В силу инвариантности меры Хаара dx на G получаем
{ Ф (У'1 (0 х) TjeUdx = }ф (х) Ty «) хи dx = Ty (ґ) J ф (х) TxIi dx. а о а
Поэтому
І'1 (Ту U) - ') U (ф) - J г1 [ф OT1 (0 X) - ф (x)] Тхи dx. (14)
G Неограниченные операторы
385
Для всякого V из H функция І Ґ1 [ф (у1 (t) л-) - - ф (л) ] (Tjl, и) I интегрируема на G и предел при t ->- 0 лежит в С° (G). Поэтому, используя теорему Лебега (приложение А.6), мы можем переставить Iim со знаком интеграла. Тогда при t0 получаем
t{y) = (15)
где
04) (x)- -lim ф {fj l (t) f ~ ф (x) € er (G) (16)
t-y't 1
задает действие левого регулярного представления алгебры L в пространстве Ct (G). Поэтому для любого и (ф) из Da и любого генератора T (F) T (F) и (ф) также лежит в D0. Это означает, что D0 является общей инвариантной плотной областью определения для всех элементов алгебры Ли L группы Ли G. Очевидно, что эта область линейна.
Область D0 называется подпространством Гординга.
Замечание 1. Отображение F F, заданное формулой (16), является представлением алгебры Ли L правыми инвариантными дифференциальными операторами первого порядка, действующими в с- (G).
следствие 1. Пусть L — алгебра Ли [группы G, и пусть х-+ Tx—представление группы G. Тогда отображение К ->- T (X), X (- L, заданное формулой (15), является представлением алгебры L.
Доказательство. Так как Dc является общим линейным плотным инвариантным подпространством в Я и условие (3), очевидно, выполнено, достаточно проверить условие (4). В самом деле, согласно (15), имеем
T [X, Y] и (ф) = и ([X, F] ф) = и [(XF - YX) ф] =
= T (X)и(FT) - T (F) // (Хф) = (Т (X) T (F) - T (Y) T (X)) и (<р) = = [Т(Х), T(F)juto).
Замечание 2. В силу инвариантности D0 мы можем определить с помощью (15) действие любого элемента
M= Ъ % - IllXt1 ¦ ¦ ¦ Xir^L,
tI iH
обертывающей алгебры E алгебры Ли L формулой
T (M) и (ф) = и (А1ф), M G Е, (17) 386
Г лава 5
где M — «левый» дифференциальный оператор на С™ (G), соответствующий элементу M из Е. Поэтому представление X-^-T (X) алгебры L может быть расширено до представления M T (M) обертывающей алгебры Е.
утверждение 2. Пусть х-+ Tx — унитарное представление группы JIu G. Тогда операторы іT (X), X ? L, симметричны.
Доказательство. Пусть и, v ? D0. Тогда
(iT (X) и, V) = Iim Г1 ((YTx (/) - /) и, V) = Iim Г1 (и, —і (Tx <„ - I) v).
<-> 0 f-> с
Так как для унитарного представления Tx = Tx\t) = Tx = = TX(-tj, мы получаем
(І7 (X) и, v) = lim Г1 (и, -і (Г, <_0 - I) v) =
= lim s"1 (u, і (Tx (s) - I) v) = (u, ІТ (X) v).
s->0
Пусть Г — представление группы G в Я. Вектор » из H называют бесконечно дифференцируемым или регулярным вектором для Т, если отображение х Тхи из G в Я принадлежит классу С00. Говорят, что вектор и из Я аполитичен для 7\ если отображение X —7\и из G в Я аналитично. Каждый элемент и (tp) из Da является регулярным вектором для Т. Действительно, используя те же аргументы, что и в доказательстве пункта 2° теоремы 1, для любого n = 1, 2, ... получаем
д\п)Т-хи (ф) = oi'0 j ф (у) Тхуи dу = д\п) j ф (a-V) TyU dу =
G О
= \д{?\(х-1у)Туийу. (18)
G
Поскольку дгп)ф (х~]у) Со, то определены частные смешанные производные всех порядков и, следовательно, Dg является плотным множеством регулярных векторов для Т. В § 4 и 6 мы опишем конструкцию Нельсона и Гординга плотного множества аналитических векторов для Т.
Иногда удобно в качестве области определения операторов, представляющих заданную алгебру Ли L, брать подпространство D в Я, отличное от подпространства Гординга D0. Например:
1° Если T — квазирегулярное представление группы G на однородном пространстве G/Я, то D = С" (G/Я) — естественная область определения.
2° Если T — ограничение к G представления более широкой группы, то в качестве области определения может быть взято подпространство Гординга более широкого представления. Мы исполь- Неограниченные операторы
387
зуем эту область для вывода результатов Нельсона—Стайнспринга (§ 2, следствия 1—5).
3° Если H = L2 (Q) и L задана формальными дифференциальными операторами, то в качестве области определения для представления T алгебры L может быть взято подпространство С" (A) или пространство Шварца S.
4° В качестве области определения может быть взято пространство аналитических векторов для представления T группы G, сопоставляемых с оператором T (А) = T (X1)2 H— • -f T (Xd)2, d, = dim L (§ 4). Мы используем эту область для решения задачи интегрируемости заданного кососимметрического представления алгебры Ли до глобального унитарного представления соответствующей группы Ли (§ 5).
