Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно (13), (12) и (10), для а, заданного формулой (8), получаем
OO
Ilехр (as) л Il = ? JrKI ЛI + • ¦ • + И, D"u|| Sn =
п= О
OO
= E TT E IHv-AuIK- (15)
n=0 IsSi1.....In^l
Сравнивая последнее выражение с выражением (1), видим, что I ехр (as) и I <оо тогда и только тогда, когда разложение в ряд для ехр (^1S1 +A2S2 -f ... + A1S1) и абсолютно сходится для любых достаточно малых (S1, S2, ..., s,). Следовательно, мы видим, что посредством понятия абсолютного значения можно удобно описать свойства абсолютной сходимости разложения в ряд для ехр ^1S1 + ... -f A1S1) и. Говорят, что вектор и из H является аналитическим вектором для a из | О (H) |, если || ехр (as) и || < < оо для некоторого s > 0. Заметим, что в силу (15), если и — аналитический вектор для а, то он также аналитический вектор для любого Ai, і = 1, 2, ..., /.
Заметим, что вышеприведенное определение аналитических векторов в случае алгебр Ли операторов дает:402
Г лава 5
Определение і. Вектор и ? H называют аналитическим вектором для всей алгебры Ли L1 если для некоторого s > 0 и некоторого линейного базиса (X1.....Xa\ алгебры Ли ряд
OO
V-L У IlX1- . .. X1-W Iis» L^ «І Lx Il і a И
п—0 I <(',.....Jn^d
абсолютно сходится.
Последнее условие эквивалентно тому, что I Xli ... XldU || < < Спп\ для некоторой константы С > 0.
Мы определили в алгебре Ли операцию (ad X) F = XY — FX. Ясно, что эта операция может быть определена также в О (H). Теперь мы распространяем эту [операцию на элементы | = = IX1I +... +|Xd| и а = |Л,| +... +|Лт| из |0(//)| формулой
dm dm
(adЕ)a =E ? I I = E EladXj(^)I. (16)
і=І /=і i=i /=і
Следовательно,
т
Wo= ? E lad X,- .. .ad X1-A I. (17)
Ki1.....ln<d /=1 1 1 1
Нам понадобится понятие коммутаторов абсолютных значений. Для этой цели мы сначала рассмотрим исчисление коммутаторов для операторов, а именно, мы вычислим коммутатор оператора А с произведением п других операторов Xn ... X1. Следующая лемма дает удобный алгоритм для решения этой задачи.
лемма 2. Если A, X1, ..., Xn — операторы в Н, то1)
AXn... X1ZD Xn... X1A-Qn, (18)
п
Qn= E E (ad X0 (jo ... ad X0 я) A) Xa („>... X0 (fc+i) (19)
fc=1 0;(л, k)
І П\
и (п, к) обозначает множество всех I^l перестановок с чисел
1, 2, ..., п, таких, что о (п) > а (п — 1) > ... > a (k + 1) и a(k)>a(k- 1) > ... > а (1).
Если X1, ..., Xn, А имеют общую инвариантную область определения, то в (18) имеет место равенство, и мы имеем
[X11^X1, Л] = Qe- (2))
1) Напомним, что A ZD В означает, что D (A) ZD D (В) и Au = Bu для всех и ? D (В).Неограниченные операторы
403
Замечание. Равенство (20) может быть записано в ином виде, который часто используется в квантовой теории. В самом деле, для п = 2 и для операторов, имеющих общую инвариантную область определения, из (20) получаем
[X3Xj ,A] = Q2 = ad X1 (A) X2 + ad X2 (A) X1 + ad X2 ad X1 (А) =
= ad X2 (A) X14- X2 ad X1 (Л) = [X2, Л] X1 X2 [X1, Л],
(21)
и в общем случае
[Хп... X1, A] = Qn = [Хп, A] Xflj... X1 4-
+ X,, [Х„л, Л] Х„_2... X1 + • • • 4- Xn... X2 [X1, Л]. (22)
Это равенство может быть легко доказано методом индукции, используя формулу (21).
Доказательство леммы 2. Докажем формулу (18) методом индукции. Раньше покажем, что
п
Xn... X1A^Y E (ad X0 а) - • - ad Хащ Л) Xa (П).. .Xa(k+i)- (23)
fc=°o6 (n, fc)
Для n = 0 включение (23) утверждает, что Л zd А, а для п = 1 оно утверждает, что
X1A ZD AX14- (ad X1) Л, (24)
что также верно.
Предположим теперь, что (23) имеет место для п, и пусть Х„+1 — оператор в Н. Тогда, согласно (24), получаем
Xn +1 Xn...XH=D
п
^Ij Ij Х„+1 (ad Xa (ft).. .adXa (і,Л) X0 („). . .Хо(л+і) л=0о€(л, к) п
^Xj {(ad Xa (ft).. .ad X0 (і)Л) X0 (n)...Xcf (fc+^Xn+i+
at (п. k)
+ (ad X„+i ad X0 (ft)... ad X0 ц,Л) X0 (n)... X0 (ft+u}. (25)
Покажем теперь, что выражение
(adXx (ft)...ad Xt о,Л) Xt(„+і,.. . Хт(Л+1;, (26)
соответствующее перестановке т из (п + 1, к), появляется или перед знаком 4- в фигурных скобках соотношения (25), или после знака 4-- Фактически оно появляется перед знаком 4- в скобках [соответствующих о из (п, k)], если % (п 4- 1) = п 4-1, и после знака 4- в скобках (соответствующих а в (п, k — 1)), если т (n + 4 1) і- п +1, так как по определению (п, k), или т (п 4- 1),404
Г лава 5
п -j- 1\ ( п '
или r(k) должно равняться п +1. Поскольку ^ ^ / = \/г/ + ( п \
+ L jj, то соответствие взаимно однозначно. Следовательно,
включение (23) имеет место для п -f- 1.
Чтобы доказать (18), заметим, что оно справедливо для п = 0 и п = 1. Предположим, что оно справедливо для п, и пусть Х„+1 — оператор в Н. Тогда (18) имеет место при замене Xn, ..., X1 на Х„+1, ..., X2 и при соответствующей модификации Q. Обозначая через Qn выражение, которое заменяет Qn, и умножая обе стороны на X], получаем
а Х„ц_1... Х2Х1 zd xn+l... X2 Л Xi — QnXі id Хпц_і...
... X2XH - Хп+1... X2 (ad Xi) А - QnX1.
Применяя (23) к Х„+1 ... X2 (ad X1) А [где (ad X1) А играет роль а в (23)], мы видим, что X„+i ... X2 (ad Xi) a -f Q^Xi zd ^ Qn+1, где каждая перестановка т из (ti + 1, k) с т (1) = 1 соответствует выражению в Х,1+1 ... X2 (ad X1) А и каждая т с т (1) ---]¦ 1 соответствует выражению в ?,',Xi.