Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
1. (А + /)"1 ограничен. Чтобы показать это, заметим, что (Au, и) > 0 для всех и из подпространства Гординга D0. В самом деле, поскольку отображение X-^T (X) определяет представление алгебры Е, то мы имеем A = T (K+K) = T (K+) T (К). Таким образом, из утверждения 1 следует
(Au, и) = (T(K+)T (К) и, и) = (T(K) и, T (К) ы) > 0
для всех и из Dg. Следовательно,
((Л + I) и, (А + /)«) = (Au, Au) + 2 (Au, и) + (и, и) > (и, и) > 0.
Поэтому (А + /) положительно определен, и на области определения оператора (А + /)-1, состоящей из векторов v = (А + /) и,
\(A + I)-*vf<\vf,
т. е. (А + /)-1 ограничен.
2. А 4- / имеет плотную область значений. Чтобы показать это, предположим, что и^Н ортогонален к области значений оператора А + /. Тогда
((Л + /)Г(ф)«, и) = 0 для всех ф G C0" (G). (15)
Из (1.17) следует, что для M ? E T (M) T (ф) и = T (Mtf) и. Поэтому (15) может быть записано в виде
J [(Z + 1) ф] (х) (TxU, и) dx = 0. (16)
о
Это означает, что функция / (х) = (TxU, и) является слабым решением дифференциального уравнения в частных производных (L + 1) / = 0 на G. Поскольку L + 1 эллиптичен, функция (Тхи, и) аналитична (см. [435]) и
(L+l)(7>, и) = 0 (17) Неограниченные операторы
391
в обычном поточечном смысле. Поскольку функция х-¦> (Тхи, и) положительно определена, при и ф 0 из упражнения 3.11.3.4 имеем
((? + 1 )f)(c) = (Lf)(e) + (u, и)>0,
что противоречит соотношению (17). Поэтому и = 0 и, таким образом, (Л + I)'1 ограничен и плотно определен. Из этих двух фактов следует, что Л с. с. с. (согласно лемме 5.3 из приложения Б).
Пусть теперь L — общий эллиптический элемент. Из предыдущего случая мы выводим, что T (L+L) = T (L+) T (L) с. с. с. Отсюда получаем
T(Lr) = T (L)*
(согласно лемме 5.4 из приложения Б). Следовательно, если эллиптический элемент L^E симметричен (т. е. L+ = L), то
ТЩ= (Т (L))*, т. е. T (L) существенно самосопряжен.
Более общий критерий для существенной самосопряженности элементов обертывающей алгебры дается следующей важной теоремой.
теорема 3. Пусть G — группа Ли и пусть T— унитарное представление группы G. Пусть L — эллиптический элемент правоинвариантной обертьіваюіцей алгебры E для G, такой, что L+ = L. Если M — произвольный элемент из Е, такой, что T (M+M) коммутирует с T (L), то
TJW) = T (Mf. (18)
В частности, если, кроміе того, M симметричен, то T (M) существенно самосопряжен.
Доказательство. Пусть г — положительное целое число, большее чем порядок дифференциального оператора М, соответствующего элементу M из Е, и пусть A = T (L2r), B = T (M+M) (= T (M+) T (M)) и С = Л + В. Тогда L2r эллиптичен, так как L эллиптичен; L2r + M+M эллиптичен, так как порядок L2r больше, чем порядок M+M. Следовательно, Л и С — представители эллиптических симметрических операторов из Е, и поэтому, согласно теореме 2, они с. с. с. Более того, эти операторы коммутируют на области Гординга.
Покажем теперь, что замыкания Л и С также коммутируют, т. е. эти операторы имеют взаимно коммутирующие спектральные разложения. Чтобы увидеть это, заметим, что ограниченные 392
Г лава 5
операторы (1 + А)-1 (1 + С)"1 и (1 -f С)'1 (1 + А)'1 совпадают на их общей области определения, т. е. на области значений оператора (1 + А) (1 + С) == (1 + С) (1 + А). Более того, оператор (1 + А) (1 + С) являгтся представителем симметрического эллиптического оператора, и по теореме 2 он с. с. с. Он также имеет плотную область значений. Это следует из того факта, что оператор D = А + С + AC положительно определен. Поэтому оператор I jT D положительно определен и самосопряжен. Следовательно, (/ + D)'1 ограничен. Отсюда получаем, что область значений R (/ + D) = R (HfD) = Я, т. е. R (I + D) плотна в Я. Следовательно, Л и С коммутируют.
Докажем теперь основную часть теоремы, а именно что T (M+) = T (M)*. Заметим сначала, что, согласно утверждению 1, T (M+) cz (Т (M))*. Поэтому если мы сможем показать, что оператор B = T (M+) T (M) с. с. е., то утверждение теоремы будет следовать из леммы 5.4 приложения Б. Положим B1 = С — А. Чтобы показать, что В с. с. е., покажем сначала, что B1 сz В. Пусть v^D (B1) = D (Л) П D (С). Можно выбрать последовательность ЫГ, такую, что
D0 Э Vn - V и Cvn-Cv, (19)
так как С — замыкание оператора С. Для произвольного и из D0 имеем Il Au Il < I Си Il. Действительно, так как A = T (Lr) T (Lr) и операторы T (L) и T (M+M) коммутируют, имеем
(Си, Си) = (Au, Ли) + (Ви, Ви) + 2 (ВТ (Lr) и, T(Lr) и).
Здесь второе и третье слагаемые положительны (поскольку В положительно определен) и, следовательно, I Си Il Il Au ||. Положив и == vn — vm, получаем
Il Avn — AvmИ < ICvn — CvmИ —*0 при m >п — оо. Поэтому последовательность \Аоп\ сходится и
Avn-Av, (20)
так как Л замкнут. Используя (19) и (20), получаем
Bvn = Cvn — Avn — Cv — Au = B1o.
Следовательно, при v ? D (B1) B1V = Bv, т. е. B1 cz В. Оператор B1 с. с. с. по лемме 5.4 из приложения Б:
B1 = Bt ZD В* ZD В ZD B1;
следовательно, мы имеем В* = В, т. е. В с. с. с. Неограниченные операторы
