Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
393
Теорема 3 имеет ряд следствий, определяющих, когда элемент M из обертывающей алгебры E представляется существенно самосопряженным оператором.
Ниже важную роль играет так называемый оператор Нельсона А:
А = Xi H-----\-Xl, d= dim L, (21)
где Xi, 1 = 1,2, ..., А, — генераторы группы G. Этот оператор эллиптичен. В самом деле, так как Xi = aik (х) дк, то, согласно (13), имеем
А (х, с) = aik (X) a,h. (х) IkIk' = b'2 > 0, (22)
ГДЄ Ь, (X) = Qik (Jf) Ih.
Следствие 1. Пусть G — абелева или компактная группа JIu. Тогда представитель T (M) произвольного элемента M обертывающей алгебры E удовлетворяет условию (18), т. е.
ТЩ*)==(Т(Щ*.
В частности, если М* = М, то T (M) существенно самосопряжен.
Доказательство. Обертывающая алгебра каждой абелевой алгебры Ли содержит эллиптический симметрический элемент вида
9 Q
A0 = Xl ¦+-•••-(- X'd,
который, очевидно, лежит в центре алгебры Е. Поэтому по теореме 3 каждый элемент M из E с. с. с.
Каждая компактная группа Ли является прямым произведением ее центра G0 и инвариантных простых подгрупп G1-, і = 1, 2, ..., N (см. теорему 3.8.2). Оператор
A(t> = (xn2 + (Af')2 + - ¦ . + (4Т' = 1'2' • • - N>
Ai = dim G1,
записанный в базисе, в котором метрический тензор Картана алгебры Ли группы Gi диагонален, является центральным симметрическим эллиптическим элементом обертывающей алгебры Ei
группы Gi, і = 0, 1, ..., N. Таким образом, оператор A=S Д(і>
1=0
является центральным симметрическим эллиптическим элементом обертывающей алгебры E группы G. Следовательно, по теореме 3 для каждого M из E имеем
TJmt) = (Т (/И))*. Тогда если M+ = М, то T (M) с. с. с. 394
Г лава 5
Рассмотрим теперь случай некомпактных полупрсстых групп Ли. В этом случае мы имеем следующее следствие.
Следствие 2. Пусть G — некомпактная полупростая группа JIu, К — максимальная компактная подгруппа в G, и пусть
dim К
Ak= Ъ X2i (=1
— оператор Казимира второго порядка подгруппы К- Тогда представитель T (M) любого элемента M обертывающей алгебры E для группы G, который коммутирует с Ак, удовлетворяет условию T (A7I+) = (Т (M))*.
Замечание. В частности, все симметрические операторы Казимира группы G или подгруппы G1 гэ К существенно самосопряжены.
Доказательство следствия 2. Из теоремы 1.2.7 следует, что метрический тензор Картана алгебры Ли группы G может быть диагонализирован. Поэтому оператор Казимира второго порядка группы G имеет вид C2 = — Ak + АР, где
dim L
Ap= ? Xl
dim K+l
Соответствующий оператор Нельсона А = (Ал- + A1) эллиптичен и симметричен на G [см. (22) I. Поскольку —Ak Ap централен в Е, любой элемент M из обертывающей алгебры E для G, который коммутирует с Ак, также коммутирует с (Лк АР) = = C2 + 2АК. Следовательно,
IMtf (Ак + Ap)] = [М, (Ак 4- Ар)|+ = 0. Поэтому, согласно теореме 3,
тЩ) = (T(M)).
В общем случае имеем следующее следствие.
следствие 3. Пусть G — произвольная группа JIu, и пусть M — центральный элемент в Е. Тогда T (M+) = T (M)*. В частности', если М*~М, то T(M) существенно самосопряжен.-
Доказательство. Элемент m из ? коммутирует с симметрическим эллиптическим элементом А, заданным формулой (21). Следовательно, [М+, А ] = [A, M Г = 0. Поэтому данное утверждение- следует из теоремы 3. ;
Замечание. Если M и Nцентральные и симметрические элементы из Е, то в силу следствия 3 н формулы (1.17) операторы T(M) и T (N) с. с. с.
Однако заранее не очевидно, что самосопряженные операторы T (M) и T (N) сильно коммутируют и коммутируют ли операторы Неограниченные операторы
395
T (M) и Tx, X ? G. Эти важные задачи решаются в § 5 после разработки критерия коммутативности (теорема 5.3).
Следующее следствие показывает, что представители всех генераторов, сопоставляемые с унитарным представлением группы G, существенно самосопряжены, т. е. они имеют собственные спектральные свойства. Этот факт важен для физических приложений.
Следствие 4. Пусть х-> 7\—унитарное представление произвольной группы JIu G. Пусть X — произвольный элемент алгебры Ли группы G, а р (X) — любой вещественный полином. Тогда оператор T (р (ІХ)) существенно самосопряжен на Dc. В частности, T (ІХ) существенно самосопряжен.
доказательство. Элемент р (ІХ) является симметрическим элементом обертывающей алгебры однопараметрической (а следовательно, абелевой) подгруппы G1, порожденной элементом X: ((р (iX))+ = р (іХ). Поэтому, согласно следствию 1, представитель T (р (ІХ)) с. с. с. на области Гординга D0. В частности, представитель элемента р (ІХ) = іХ с. с. с.
Следует подчеркнуть, что в унитарном представлении группы Ли симметрические элементы обертывающей алгебры не обязательно представляются существенно самосопряженными операторами на подпространстве Гординга. Чтобы проиллюстрировать этот важный факт, рассмотрим следующий простой контрпример.
Пример 2. Пусть G — двухпараметрическая группа преобразований X = ах + Ь, а 0, вещественной прямой R, и пусть H = L2 (—оо, +оо). Унитарное представление группы G в H задается формулой
