Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
вектором для Л. Действительно, если A= j X AE (X), то по
Sp/Ї
формуле (3.16) приложения Б получаем
J AnE (б) и И < I с I" К ? (б) и И < I г I" Il и ||, где с = шах (I a I, | b |). Поэтому
°° її и <*>
s jtorii < „ в „ 2 =ii « і ехр (і ф) «x, (2)
л=О л—О
Следовательно, E (б) и — аналитический вектор для Л. Согласно следствию 2 спектральной теоремы (приложение Б.З), множество всех векторов вида v = E (б) и, где б = [а, Ь] пробегает все конечные интервалы из R, а и пробегает Я, плотно в Я. Поэтому Л имеет плотное множество аналитических векторов.
Замечание 1. Утверждение, обратное лемме 1, также верно: если замкнутый симметрический оператор имеет плотное множество аналитических векторов, то он самосопряжен (см. [6281, лемма 5.1). Неограниченные операторы
399
Замечание 2. Ясно, что \Х имеет те же аналитические векторы, что и X. Поэтому лемма 1 и замечание 1 остаются справедливыми, если «симметричность» заменить на «кососимметричность», а «самосопряженность» на «кососопряженность».
Примі:P 1. Пусть А — самосопряженный неограниченный оператор в Н. Если А имеет дискретный спектр (как, например, для
A = J-JL в L2 (0, 2л)),
то каждый собственный вектор ип оператора А с собственным значением %п является аналитическим вектором. В самом деле,
OO 'It.00 ,
S I-^iii ? = 1 и„ Il ехр (XnS) с ОС.
Линейная оболочка векторов {«„} образует плотное множество аналитических векторов для А.
Если А имеет только непрерывный спектр (например,
Л =T "ZT в L* (-<*>. со)),
то из доказательства леммы 1 следует, что плотное множество аналитических векторов состоит из всех векторов вида
V = E(o)u, E ?) = E (к) - E (ц), (3)
где E (Я) — спектральное разложение единицы, сопоставляемое с Л, 6 пробегает все ограниченные подмножества в R, а и пробегает все пространство Н.
Б. Абсолютное значение оператора
Рассмотрим теперь исчисление так называемых абсолютных значений операторов. Пусть О (H) — множество всех линейных операторов в Н. Напомним, что для Л, ? из О (H) сумма А + В имеет область определения D (Л) f| D (В), а произведение AB имеет областью определения множество всех векторов U^D (В), таких, что Bu лежат в D (Л). Если и ? D (А), то определено j! Au ||. Если и <? D (А), то полагаем, что || Au || = оо. Пусть Л, В, С (: О (H). Если соотношение
Il Си Il < I Au Il 4-1 Ви I (4)
удовлетворяется для всех и ? Н, то символически мы записываем это в виде
|С|<|Л| + |В|. (5) 400
Г лава 5
Следующие соотношения верны для всех операторов А, В, С из O(H):
Г |Л + Б|<|Л| + |Б|, (6)
2° если I Л| < |?|, то \АС\<\ВС\. (7)
В самом деле, если и ? D (А) П D (В), то jj (Л + В) и || < < I Au I + I Bu ||. С другой стороны, если и <?D (Л) П D (В), то ||Лм|| + I Bu I = оо согласно нашему соглашению, т. е. (6) все еще верно. Если I Ли II < I Bu || для всех и, то, в частности, для вектора V — Си имеем || ACu | < || BCu ||, т. е. неравенство (7) верно.
По аналогии с абсолютными значениями обычных чисел символ I Л I называется абсолютным значением оператора А. Формально мы можем определить абсолютное значение | Л | оператора Л как множество, состоящее только из Л. Пусть I О (H) I — свободная абелева полугруппа с множеством всех j Л |, где Л из О (H) рассматриваются как генераторы (см. приложение А.З). По определению свободной^абелевой полугруппы элемент а ? IО (H) | является конечной формальной суммой вида
« = PA 1-І-----HM (8)
Мы используем понятие свободной полугруппы в определении I О (H) |, поскольку мы не рассматриваем обратного элемента к элементу а из I О (H) |. Элемент ? ? J О (H) I вида
? = |?il+---+IA«l (9)
равен а, если их слагаемые с точностью до порядка совпадают. Если а — положительное число, то мы будем отождествлять а с \ al \, где / — тождественный оператор в Н. Определяем произведение a? элементов a и ?, заданных формулами (8) и (9), формулой
I т
o?=SUMf?,|. (10)
і=і /=і
Множество I О (H) I с операцией (10) является полукольцом, и в силу отождествления а = \ al \ — это полуалгебра. Для a ? I О (H) I, заданного формулой (8), для всех и из H определяем I аиj формулой
M = IIMII+ ¦•• +WA1Ul (11)
Полагаем, что a < ?, если '|| аи || < | ?w || для всех и из Н. В дальнейшем мы также будем использовать элементы
OO
ф = U ans« (12)
n-=О Неограниченные операторы
401
полуалгебры, состоящей из всех степенных рядов по некоторой
OO
переменной s с коэффициентами из | О (H) |. Если if = ? ?ns'!»
n=D
то мы определяем, что ф < Ij), если ап ^ ?,„ п = О, 1, 2, ..., и для и из H определяем Il фU Il формулой
OO
Il ф« Il= E IKM ||s«. (13)
и=О
Дальше формальным дифференцированием и интегрированием
s
определяем (d/ds) ф (s) и j ф (t) dt. При этих соглашениях имеем
OO
||exp(M|.sHI= ^Mris"- (14>
л= О
Таким образом, наряду с понятием \ А \ мы можем дать близкий символ для суммы из ((). Следует иметь ' в виду разницу символов ехр (v4s) и ехр (И I s) = ? I Л |"s"/n! [которая возникает, например, в силу (11)1.
