Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
в. Теория гармонических функций на компактных симметрических пространствах восходит также к Вейлю [840]. Впоследствии усилиями Годемана [334] и Хариш-Чандры [374, 375] она превратилась в один из основных инструментов анализа неприводимых представлений полупростых групп Ли. Представленный в § 3 случай гармонических функций группы SO (п) был разработан Рончкой, Лимичем и Нидерле [701 ]. Ими же этот подход был распространен на некомпактные группы SO (р, q) (гл. 15, § 3).
Гармонические функции и соответствующие неприводимые представления могут быть построены также для других классических групп Ли. Случай U (п) исследовался Рончкой и Фишером в [700). Они построили класс гармонических функций, определяемых одним и двумя инвариантными числами. Случай симплекти-ческих групп Sp (п) рассматривали Паяс и Рончка [658].
Гармонические функции для некомпактных унитарных групп U (р, q) были построены Фишером и Рончкой [261 I, а для Sp (р, q) — Паясом в 1969 г.
В 1955 г. Вигнер показал, что теория представлений евклидовой группы представляет собой основу для теории функций Бесселя; в частности, он показал, что закон умножения элементов группы предполагает различные функциональные соотношения Для бесселевых функций. Впоследствии Виленкин в серии статей 376
Глава 10
распространил этот подход на другие специальные функции. Результаты Виленкина собраны в его монографии [819]. Недавно появились и другие монографии, посвященные исследованию специальных функций математической физики с точки зрения представлений групп, а именно, Миллера [594] и Талмана [801]; последняя основана на лекциях Вигнера 1955 г.
г. Операторы рождения и уничтожения своим началом восходят к квантовой теории осцилляторов и излучения (Дирак). Фо-ковское пространство было введено в 1932 г. (Фок). Представления бесконечномерных операторов Ферми и Бозе были даны впервые Гордингом и Вайтманом в 1954 г., после чего в этом направлении была проделана значительная работа.
Гильбертово пространство целых аналитических функций восходит, по-видимому, к Лондону, но в законченном виде было введено Баргманном [39] и в 1965 году распространено Сигалом на бесконечную систему операторов рождения и уничтожения.
Построение представлений компактной алгебры Ли su (2) при помощи операторов рождения и уничтожения было осуществлено Швингером. Некомпактный случай обсуждался Барутом и Фронсдэлом [75] для su (1,1) и Андерсоном, Фишером и Ронч-кой [12] для и (р, q).
§ 6. Упражнения
§ 1.1. Постройте неприводимые представления алгебры Ли sp (п), пользуясь методом Гельфанда—Цетлина.
Указание. Разработайте структуру схем Гельфанда—Цетлина, используя разложение неприводимых представлений sp (л) относительно цепочки последовательных максимальных подалгебр алгебры sp (п).
§ 2.1. Покажите, что определяющее представление L группы Лоренца^в Ri
§ 2.2. Покажите, что генераторы группы Лоренца для представлений D(,/s-°> и D(0',/s> могут быть выбраны в виде (k =
JC ^ JC —— I^/JC
= 1, 2, 3)
J(1/2. 0)
2-IOft,
1 .
yvr-°>=4crfc,
(1)
YlGk'
і .
Ni0' I/2> Точное построение конечномерных неприводимых представлений 377
§ 2.3. Покажите, что представление D('/',0> @ D*0-1/*' группы SL (2, С) можно записать в виде
(D<1/2,O)0D(O,1/2))(A) =
w
тг
exp[^-w-^j = cos-y + iw-Ъ sin-
для специальных вращений,
/1 \ , и ~ , и
exp (--Y и-а) = ch-j,— u-ash~Y
для специальных преобразований Лоренца,
(2)
где w и и — единичные векторы в направлении w и и, w = \w\, M = IKI И
-с :]• -п а-
(3)
§. 2.4. Покажите, что неприводимое представление D(/-'> группы SL (2, С) может быть реализовано в пространстве симметрических бесследных тензоров TiLi.....
§. 2.5. Покажите, что представления Ь(',0) и D<0,'> группы SL (2, С) удовлетворяют следующим равенствам:
DU'0) = m_2/ (ар) ® (aP) ® • • • ® (aJf) (21 Раз).
П ( T) = т"2/ (^) ® (aP) ® ' •' ® (aP) (2/ Раз).
где a = —a. § 4.1. Пусть
a* = 2—1/2 (xft -f 1?), ak = 2—1/2 - 1?), ? = 1, 2, 3,
Xft / = ata і -+ -і- б/у. (4)
Покажите, чго на операторы (4) натягивается алгебра Ли и (3). Покажите, что в пространстве H = L2 (/?3) реализуются лишь наиболее вырожденные представления и (3), характеризуемые старшими весами т = (т, 0, 0). Покажите, что наименьшими размерностями этих представлений являются 1, 6, 10 и 15.
Указание. Покажите, что операторы Казимира C2, C3, Ci, ...
з
являются функциями оператора C1 = 2jX„. 378
Глета 10
§ 4.2. Пусть H = L2 (Rn), и пусть щ и щ, I = 1,2.....я —
операторы уничтожения и рождения, заданные согласно
at = 2-1/2 fa, + а\ = 2~1/2 fo, - ф,). (5>
Покажите, что вектор
|0) = П-»/4ехр(—J-) (6)
удовлетворяет условию
G/ I 0) = О
и
(OtflO) = Hp (X1)IO), P= 1,2,..., (7)
где Hp (Xi) — нормированные полиномы Эрмита. § 4.3. Положите
ea(z) = exp(~az). (8)
Покажите, что функции (8) удовлетворяют условиям (по отношению к скалярному произведению (-, •), заданному при помощи (4.8))
(еа, eb) = eb(a), (еа, и) = и (а), (9)
