Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
m-ы гп-2, /"„-1, п гп,
п-1 Il-I • • • тп-1, п-1
mS2 т22
ти
Первая строка схемы определяется компонентами старшего веса неприводимого представления и (п). Эта строка фиксирована для данного неприводимого представления и (п). В последующих строках стоят произвольные числа, удовлетворяющие следующим неравенствам:
/ = 2, 3,...,4, HilJ > ///,, м > mM,j, I^i2,.. ,її - 1. ( ' 336
Г лава 5
Эти неравенства отражены в схеме Гельфанда—Цетлина при помощи того факта, что числа mL в (/—1)-й строке расположены между числами тп и ті+1 у в /-й строке. Для определенного k, k = 1, 2, .... п—1, числа mik, 1 с і < k, представляют собой компоненты старшего веса mk неприводимого представления подалгебры и (k), которое появится в разложении неприводимого представления и (п).
Чтобы определить эрмитово представление алгебры Ли и (п) соотношения (6), достаточно определить действие операторов Alj, i, / = 1, 2, ..., п, на схему т и проверить выполнение коммутационных соотношений (3) и равенств (5). Мы можем ограничиться генераторами Akk, Akj^1 и Ак_ь к, поскольку действие остальных генераторов можно получить из коммутаторов этих генераторов; например, из (3) имеем
А-2, k = lAt-2, k-l, Ak-U А].
а в общем случае
Ak, k-h = M/-, Ii-U А-1, /р-/і1і
Ak-Ji, к = И/г-Л, k-Ъ АК_ /і>1. (13)
В случае алгебры Ли и (2) действие генераторов Akk, Ak и Ak_lik хорошо известно (упражнение 8.9.8.2). Руководствуясь этим случаем, определяем действие операторов Akk, Ак,к_х и Ak-i, k Для произвольной алгебры и (п) следующим образом:
Akktn = (rk — Ik^l) т, Ak, k-itn ¦¦
где
i-i
Yi a'k-i (т)т[_ъ /=і
к-1 ~
Ak-i, km=Yi b'k-1 (m) m'k_u /=1
r„ = 0,
rk
? mjk, A = 1, 2,
/=1
o{_i (m) =
H-i (m) =
к k-2
П {llk-lj.k-i + J) П (Ilk-2 i=l 1=1
n,
П (/,-, k-l - Ii, k-l +1) (/,-, ft-i - Ij, *-»)
ІФІ
к
п (Iik -
I— 1
'/, /г-1
k-2
) П (/,,ft.,-(=1
П (/,-, A-I —//, ft-i) (/,-, ft-1 —/у, A-I — 1) ' ti
(14)
(15)
(16)
(17)
(18) (19)
'ik - tnik—i- Точное построение конечномерных неприводимых представлений 337
Здесь і (m?_i) — схема, получаемая из т заменой числа mjt в (k—1)-й строке схемы т на число mjjk_x—+ 1). Заметим, что формально существуют схемы т{-\ и ті—ь для которых неравенства (12) не выполняются. Однако такие схемы в (15) или (16) не возникают, так как коэффициенты отличны
от нуля только для схем, подчиняющихся неравенствам (12). Более того, для допустимых схем знаменатели в коэффициентах и і не равны нулю, а подкоренные выражения неотрицательны. Поэтому
ab ^aLi и ILi ^bLl. (20)
Имеем также
ajU (m) = bLi {т{Л (т) = ?jLi(W--i). (21)
Все эти утверждения следуют непосредственно из соотношений (18), (19) и (12).
Следует заметить, что для некоторых недопустимых схем знаменатели в O1k-I или Ьі-1 могут обращаться в нуль. Однако в таких случаях числители также равны нулю, а такие отношения по определению равны нулю.
Покажем прежде всего, что операторы Akk и Akjk^ удовлетворяют правильным коммутационным соотношениям, т. е.
[Akk, Akl/,_t] = Akt к_ъ А = 2, 3, . . ., п. (22)
Действительно, из (15) и (14) следует
Zf-I
X = AhkAk. k-W = Ц а'ь-\(т) [ік (ші і) — 'fc-л (/4-01 /иі-i-
I=і
Используя определение схемы т{ и (17), находим
U-I k-1
X = [rk (т) — rk-i (/")1 Ti «а-1 (т) ш'к-1 L ? (m) „^ =
/=[ /=і
= Akl k-iA^m + Ak, к_гт,
так что
[Akk, Aki ^1Im = Aktk^m, (23)
что совпадает с (22) ввиду произвольности схемы т. Аналогична можно показать, что операторы Akk, Ak^li к, и Aki k_x удовлетворяю: коммутационным соотношениям (3). Следовательно, в силу (13) операторы Aij, i, j = 1, 2, ..., п, удовлетворяют коммутационным 338
Г лава 5
соотношениям (3). Затем проверяем условие эрмитовости (5), налагаемое на генераторы Aij, что в свою очередь обеспечивает эрмитовость генераторов (6) алгебры и (п); именно,
(п, Ачт) = («, А]т), i, / = 1, 2, . . ., п, (24)
для произвольных схем пит.
Генераторы Akk, k — 1, 2, ..., п, эрмитовы, поскольку в пространстве представления они диагональны, а их собственные значения вещественны в силу равенств (14)—(17). Для генераторов Aki /;_! имеем
_ _ ft 1 ___
(п, А\, т) = (А%, k-\m, п) = (т, Ak, ь-\п) = Y a'k-i (") 6m „/
/=і ' ft-1
(25)
Поскольку (п) вещественны и удовлетворяют (21), мы получаем
к-1
(п, Al.k-itn) = Yi b'k-i(n'k-і)б і = /=1 "ft-1
ft-1
/=1 ". »4-і
(26)
Использованное здесь равенство
6 . =6 ~
га, «ь_і /'
* mk-1
следует из того факта, что п совпадает с тогда и только
тогда, когда т совпадает с n(_i.
Ввиду произвольности схем п и т в (25) и (26) имеем
Ak, к-i~Ak-i%k, A%-itk = Aktk-\. (27)
Применяя метод индукции и используя рекуррентные формулы (13), получаем
Ak, к-h = [At, ft-1, Лі-1. ft-»;]* == . k-h, Akt ?_l] =
= [ fc-1. Л-1. ft] = 4-ft. ft- (28)
Поэтому условие эрмитовости (5) выполняется для произвольного Aij, i, j — 1, 2, ..., п, в пространстве представления Hrrtn. Следовательно, генераторы (6) алгебры и (п) представляются
