Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Г лава 5
с 2q < р. Прямым вычислением можно показать, что для О (2п + + 1) и Sp (2п) якобиан
д (C2, Ci, • . ., C2n) d(mlt т2, . . ., тп)
не обращается в нуль. Итак, множество операторов C2, C4, ..., C2n порождает кольцо инвариантных операторов для групп О (2п -f- 1) и Sp (2м). В случае группы О (2п) ситуация несколько отличается. Спектры инвариантных операторов C21, і = 1, 2, ..., п, все еще инвариантны при действии группы Вейля, которая в случае группы О (2п) сводится к перестановкам чисел I1, і = 1, 2, ..., п, и парным отражениям:
U -» —U, I1 — —11, 4 — к + і, /• (59)
Однако, как мы показали в 8.5, для этой группы существуют два неэквивалентных фундаментальных спинорных представления А+ и А_, старшие веса которых имеют вид
т+=(-§-'• • "-у'4-)' -г» -4-)- (60>
Спектры инвариантных операторов C2i, і = 1, ..., п, выражаются в терминах сумм Sk с четным k, и, следовательно, на них не действует подстановка тп ->- —тп (которая приводит к In-*- In, так как rn = 0). То же имеет место для пар представлений Д^Д® и Д^Др. Следовательно, множество инвариантных операторов C2l-не может характеризовать различные неэквивалентные представления. Поскольку для спинорных представлений т,- >0, і = = 2, 3, ..., п—1, и только та может принимать как положительные так и отрицательные значения, для установления взаимно однозначного соответствия между компонентами старшего веса т,-и спектрами инвариантных операторов достаточно заменить, скажем, оператор C2n на новый инвариантный оператор, на который действует подстановка тп -*¦ — тп. Такой инвариантный оператор может быть построен с помощью полностью антисимметрического тензора EjiZi JnJri, все ненулевые компоненты которого в сферических координатах определяются условием є„, „_!,..., _„+i_ _п — —1. Инвариантный оператор, построенный с помощью полностью антисимметрического тензора, имеет вид
Г — Vu v'l'i у Vrt V Ji ¦ 'п уЧ у'п
Ltj —¦ Zj Ь|" / ... ; А • • • Л = 7J tZ ¦ ¦¦ і "
и^ I1I1 InJn і— I1 In I1 Irt
'l'l Wn
(61)
Действуя оператором Cn на вектор старшего веса ф т и ИСПОЛЬЗуЯ (49), мы можем выразить собственное значение оператора Cn Тензорные операторы, обертывающие алгебры и обертывающие поля 319
через собственные значения т,- диагональных операторов X1i. Старший чден имеет вид
? ^-'>¦'/». ... т . =(-l)n(n-I)/22"n!mj"'... т„.
і ..../ 1I " п 1I п
Следовательно, переходя к переменным находим, что С'п — полином степени п от переменных Z1, ..., In со старшим членом (—1)«1JZ^nZiIZ1Z2 ••• /„. Симметрия относительно группы Вейля S, выраженная через I1 группы О (2п), означает, что спектр инвариантных операторов должен оставаться неизменным при любых перестановках переменных I1, ..., In и при любых парных отражениях (59). Этим условиям удовлетворяют следующие симметрические полиномы, степени которых не превышают п: I1I2 ...In и Ч +1% + '"' +^n Для четных а < п. Чтобы найти окончательный вид спектра оператора С'п, мы используем тот факт, что оператор (61) является псевдоскалярным оператором в расширенной группе О (2п), содержащей пространственные отражения. Мы показали, что если заданное неприводимое представление Tg группы SO (2п) характеризуется старшим весом т = (//I1, ..., //V1, тп), то зеркально сопряженное представление
Tg = Togo~t, g ? SO (2п), о — отражение,
имеет старший вес т = (mlf ..., mn_lt —тг1) (см. лемму 8.5.J). Так как для группы О (2/г) rn = 0, то мы получаем, что тп ~ In и
С'п (Iи - . ., In-1, —І») = — CnQi, . . ., In-1, In). (62)
В силу S-теоремы Рака Ca — симметрическая функция от чисел I1, ..., In, и, следовательно, соотношение (62) удовлетворяется для любых Ii, і = 1, 2, ..., п. Поэтому выражение для спектра оператора С„ может содержать только члены, пропорциональные I1I2--A1,, т. е.
Cn {пи, . ., т„) =, (—1)" <и" 1>/22п/г! /,/2 - ..In-Прямым вычислением может быть показано, что
б(Сг, C4, . . ., C2 (n-1), C2n) д(ти .......тп) 320
Г лава 5
2. Частные случаи.
Рассмотрим сначала случай полностью симметрических представлений групп О (2п), О (2п + 1) или Sp (2п), которые характеризуются старшим весом т = (ДО, ...,0). Используя формулу (54), получаем
Cp (/, 0, . . ., 0) - (/ + 2аY + (-/)", + (2а + ? - 1) +
л. (2а П /1 1 P + 1 (/ + 2а)р 1 ]
+ (2а- 1)(^1 + 2(о_1);[ /+1 f + 2a-l J +
а(р+1) (/ + 2а)р — (—/)р /fi о\ ' 2 (а — 1) " T+^-* (Ь6>
Для наинизших значений р эта формула упрощается:
C2 = 2/(/ + 2а), (64)
C4 = 2/ (/ + 2а) |> + 2af + 2а2 - a? - -L (? - 1)] . (65)
В случае полностью антисимметрических фундаментальных представлений, характеризуемых старшими весами т = (1, 1, ..., 1,
к раз
0, ..., 0), спектр операторов Cp имеет вид Cp (IlfcO = -(2a + 2 - kY - кР + (—l)p(2a + ? + 3) + 4- (9а 4- Ъ ( 1 J- P-1 N К-(-1^ . (2а+ 2-fe)"-(-QpI
+ (2а + 3) ^ 1 +2(a + 2)J[ k + 1 +-2а+3-/?-J +
<а+1)(р-1) k"-(2a + 2-k)p
"Г 2 (а+ 2) а+1—fe ' ^ '
Для р = 2 и 4 получаем
C2 = 2k (2a + 2-А'), (67)
C4== 2/г (2a + 2 — ?) ? Zz2 — 2 (a + l)ft-|-
+ (a+ l)(2a + 2-?) + 4(?+l)J- (68)
