Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Барут А. -> "Теория представлений групп и ее приложения. Том 1" -> 111

Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 — М.: Мир, 1980. — 452 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapredstavleniyt11980.djvu
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 153 >> Следующая


Cn7=-S///, /=1,2, ...,«, (28)

t=i

дает взаимно однозначное отображение L на Ln.

С каждой матрицей с ? L теперь сопоставляем элемент а (с) = = cikeik Є D (Ln+1). Легко проверить, что

а ([ci, C2]) = [а (C1), а (с2)]. (29)

Ясно, что поле Ли D (Lm) порождается элементами вида а (с), с ? L, и элементами р1г ..., рп, qu ..., qn. Следовательно, для того чтобы получить наше утверждение, достаточно показать, что поле, порожденное элементами а (с), изоморфно полю Dn (n-i)/2, a(L). Теперь L изоморфно Ln; поэтому соотношение (21) для L„+1 следует по индукции.

Центр алгебры E (gl (п, С)) порождается п элементами вида C1, C2, ..., Cn, Cs = Tres, е = \elk\.

Элементы последней строки входят линейно в одночлены C1. Следовательно, D (gl(n, С)) порождается элементами C1, C2, ..., Cn и D (Ln). Итак,

D (gl (п, С)) = Dinm ,„_,,, „ (С). (30)

Следствие. D (si (п, С)) = Dn(n_i)/2ln-i(C). 328

Г лава 5

Доказательство.D (si(п, С)) порождается элементами C2, C3,... ...,Cn и D (Ln). Поэтому (30) следует из (21).

Чтобы обобщить основной результат до произвольной полупростой алгебры Ли L, удобно использовать конкретную реализацию алгебры L дифференциальными операторами на многообразии X = N\G, где N— нильпотентная подгруппа из разложения Ивасавы G = KAN. В этом случае могут существовать инвариантные операторы в пространстве H- Li (X), которые не являются элементами центра алгебры E (L). Пусть Ё (L) обозначает расширение алгебры E (L) кольцом инвариантных операторов, которые не порождаются элементами центра Z алгебры E (L)1). Тогда имеет место следующая теорема.

ТЕОРЕМА 5. Пусть L — полупростая алгебра JIu, и пусть D (L) — обертывающее поле расширенной обертывающей алгебры Ё (L), реализованной в пространстве H = L2 (X), X = N\G. Пусть (ta, Xi), а = 1, 2, ..., п, п — dim NtUi = 1, 2, ..., k = = rank С — координаты в пространстве X. Тогда поле D (L) изоморфно полю Гейзенберга Dtu k (С), порожденному операторами

Ра — -щ—> Qa — ta, Ci -= Xi (суммирование отсутствует).

(31)

(Эта теорема доказана Гельфандом и Кирилловым).

Последние авторы доказали также аналогичную теорему для класса нильпотентных алгебр Ли [312].

Эти теоремы показывают, что существует общая основная структура обертывающих полей всех полупростых алгебр Ли, и эта структура изоморфна структуре полей Гейзенберга.

Числа п и k, которые появляются в поле Гейзенберга Dlli k (С), имеют определенный смысл в теории представлений; а именно, в случае конечномерных представлений k является числом компонент старшего веса т = (тъ ..., гщ), который характеризует неприводимое представление Tl"1 группы G (гл. 8). Число п является размерностью области определения G0\G функций пространства H (G0\G) неприводимого представления T'"1 группы G (гл. 8). Эта интерпретация чисел k и п справедлива также в теории бесконечномерных представлений (гл. 19).

1j Заметим, что центр z в E (L) содержит инвариантные операторы, которые являются полиномами от генераторов; E (L) содержит инвариантные операторы,

которые являются рациональными функциями от генераторов. Однако в общем случае могут существовать инвариантные операторы, которые являются более общими функциями от генераторов, например псевдодифференциальные операторы. Тензорные операторы, обертывающие алгебры и обертывающие поля 329

Тот факт, что обертывающее поле алгебры Ли порождается алгеброй Гейзенберга pt, qt и множеством C1, ..., Ck инвариантных операторов, полезен в квантовой механике и в физике частиц. В частности, он служит инструментом для интерпретации и анализа так называемых динамических групп (гл. 13).

§ 6. Дальнейшие результаты и комментарии

А. Операторы Казимира и их спектры для полупростых алгебр Ли

Распространим теперь теорему 4.2 на другие полу простые алгебры Ли. Для произвольных полупростых алгебр Ли завершенного тензорного исчисления не существует. Поэтому мы используем формулу (3.7) для операторов Казимира:

Cp = ^M1M2-••• ХЧ P = 2, 3, ..., (1)

где

^M1H8 • ¦ • Mp = Tr (XHiXm2 • ¦ • Xlip) (2)

(Хм — представление генераторов Xm в произвольном неприводимом представлении заданной алгебры Ли). Для классических алгебр Ли An, Bn, C11 и Dn мы берем в роли представления Xm ->-

-*¦ Xm простейшее фундаментальное представление т — (1, О, ..., 0). Следующая теорема дает прямое обобщение результатов теоремы 4.2 для полупростых алгебр Ли.

теорема 1. Пусть т = (тг..... тп) — старший вес неприводимого представления любой из классических алгебр JJu An,

Bn, Cn, D11, п = 1, 2, ..., и пусть Xm -> Xfl — простейшее фундаментальное представление т = (1, 0, ..., 0). Функция

G ю=zl (1 + (?-ц)/) -п ^

Il(Z) n(l TTj^)' я< = f-(4)

і

I1 = HI1 + г с, і > 0, Li --= -I1, I0 = 0,

является производящей функцией для спектра операторов Казимира (1), т. е.

KX

G(Z) = Y С„(ти ..., mn)zp. (5) 330

Г лава 5

Параметры а, ?, и Ti для различных алгебр Ли даны в табл. 1. (Доказательство см. в [672].)

Переломов и Попов [672] вычислили также вид спектра операторов Казимира некоторых исключительных алгебр Ли.
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 153 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed