Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Точное построение конечномерных неприводимых представлений
Метод индуцированных представлений, описанный в гл. 8, дает решение задачи о классификации всех конечномерных неприводимых представлений для всех простых групп Ли. Однако, чтобы рассмотреть все следствия для физических приложений, нам необходимо явно определить:
1° Множество независимых инвариантных операторов.
2° Полный набор коммутирующих операторов (ПНКО), которые мы интерпретируем как физические наблюдаемые; природу и множество точек их спектров (гл. 13).
3° Свойства базисных функций и размерность пространства представления, отождествляемого с пространством физических состояний.
4° Свойства разложения представления группы G по отношению к ее подгруппе G0.
5° Матричные элементы операторов Tg или T (X) представления группы G или алгебры Ли L.
В этой главе мы рассмотрим четыре общих метода построения неприводимых представлений, для которых часть или все задачи 1°—5° решаются точно.
§ 1. Метод Гельфанда—Цетлина
Первым методом построения неприводимых представлений, который также дает решение перечисленных выше задач 1°—5°, является так называемый формализм Гельфанда—Цетлина. Он применим как к компактным, так и к некомпактным группам и представляется особенно удобным для приложений в квантовой физике. Мы дадим подробное описание этого формализма на примерах алгебр и (п) и so (п).
А. Представления и (п)
Группа U (п) определяется как группа преобразований в С", сохраняющих эрмитову форму
Z1Z1 + ZiZ2 ... ZnZll = const. (1)334
Г лава 5
Таким образом, для и ? U (п) и*и = ии* = 1. Следовательно, генераторы однопараметрических подгрупп удовлетворяют условию эрмитовости ')
Mlk = Mik. (2)
На совокупность из п2 генераторов (2) натягивается алгебра Ли группы U (п). Однако, как было отмечено в гл. 9, поскольку коммутационные соотношения для Mik нельзя записать симметричным образом, мы исходим из алгебры Ли группы GL (п, R), элементы которой удовлетворяют коммутационным соотношениям
IAlft Akl] = бjkAn - бпА,ф i, / = 1,2,.. ., п. (3)
Алгебра Ли (3) имеет п2-мерное представление, задаваемое матрицами Картана—Вейля
Aif (eij)tk — ^ifijk- (4)
Эти матрицы подчиняются условию
etj -¦¦-= Pji. (5)
Введем следующие п2 операторов:
Mkk = Akk,
Mki = AklAlk, Mkl - і (Ahl - Л,,), к < / < п. (6)
Когда Aij — C1 j, операторы (6) являются «xn-матрицами, удовлетворяющими условию эрмитовости (2). Значит, они являются генераторами U (п), и для них автоматически выполняются коммутационные соотношения алгебры и (п). Поэтому произвольное представление алгебры Ли группы GL (п, R), для которого справедливо условие (5), индуцирует эрмитово представление алгебры и (п), определенное согласно (6). Ясно, однако, что этот факт не означает, что алгебры Ли групп U (п) и GL (n, R) изоморфны, так как обе алгебры вещественны, а преобразование, задаваемое формулами (6), — это комплексная линейная подстановка.
Далее мы строим канонический базис в пространстве произвольного неприводимого представления алгебры и (п). Построение основано на следующих двух свойствах неприводимых представлений и (п):
1. Конечномерное неприводимое представление алгебры Ли и (п) однозначно определяется n-мерным вектором тп = (т1п, т2п, ..., тпп) с целочисленными компонентами min, подчиняющимися условию
ты > т2п > • • • > тпп. (7)
В гл. 9 мы использовали тензоры вида MK или А (. Это было удобным для вычисления инвариантов. В этом параграфе будем использовать ковариан.ные тензоры вида Aif, Aki >< т. п.Точное построение конечномерных неприводимых представлений 335
Этот вектор представляет собой старший вес представления. Пространство, в котором реализуется неприводимое представление, определяемое вектором тп, обозначаем через Hm п. Будем предполагать, что алгебра Ли и (п — 1) вложена естественным образом в и (п), т. е. она натягивается на генераторы Aij, i, j = 1, 2, ..., п—1 (раздел 8.3.Г).
2. В разложение неприводимых конечномерных представлений и (п) входят лишь те неприводимые представления и (п — 1), для которых компоненты mit п_Л старшего веса удовлетворяют условию
min > mh „_, > m,-+j, „, t = 1,2.....п — 1. (8)
Кратность каждого неприводимого представления и (п—1), входящего в разложение представления и (п), равна единице (см. теорему 8.8.1).
Рассмотрим убывающую цепочку алгебр
U(U)Z^ и{п- 1)=э ••• =>ы(2)=>ы(1) (9)
и разложим неприводимое пространство #m" на подпространства Нтп-1, неприводимые по отношению к и (п — 1). Каждое из этих подпространств в свою очередь разлагается на подпространства, неприводимые относительно и (п—2) и т. д. вплоть до и (1). Так как неприводимые представления и (1) одномерны, пересечение убывающей цепочки подпространств
Нтп ^ ят«-і ^ ... ^ ят* з Hml (Ю)
однозначно определяет это одномерное подпространство. Однозначность следует из свойства 2. Единичный вектор, на который натягивается это одномерное подпространство, обозначаем при помощи так называемой схемы Гельфанда—Цетлина т: