Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Г лава 5
на основе (14)—(16) проверяем, что матричные элементы любого генератора A1i связаны соотношением
(ni, A{ni)=--(ni, А\т) so{o,„m'.
їй т
Поэтому глобальные представления Tl п и Tl " связаны друг с другом. Действительно, из (42) имеем
Tl"1" == ехр is (Cp1 + (T2 H-----1- ц,п) Tl"1" = (det б у Tl"'" =
= (det g)s
где ехр (фд.) = Sk и det б = det g (упражнение 3.11.6.3). Следо-
т т
вательно, представления Tl "и Tl " проективно эквивалентны, и совокупность неприводимых представлений U (п) можно разбить на классы проективно эквивалентных представлений. Каждый подкласс проективно эквивалентных представлений содержит бесконечное множество неприводимых представлений, для старших весов которых выполняется условие (40). Любой подкласс проективно эквивалентных неприводимых представлений U (п) становится одним неприводимым представлением группы SU (п).
Б. Представления алгебры о (п)
Ортогональная группа О (п) — это множество всех линейных преобразований g n-мерного евклидова пространства
*'l = glsXs, s, /= 1, 2, . . ., п, сохраняющих квадратичную форму
? . 0 . ,2 ----4- Xn.
Группа 0(п) содержит -І- п (п—1) различных однопараметрических подгрупп, а именно вращений в плоскостях (xh Xk):
(О
(А)
gik (6)
"1 0- • 0 0 ..о ..о-
0 1 . • 0 0 0 0
0 0 • • 1 0 0 ..о
0 . • 0 COS0 . • • sin 0 • • 0 ...(0
0 . • 0 0 ..о • •0
0 ¦ • 0 —SinO • • cos 0 0 • • •0
0 . . ..0 1 . • ¦ 0
0 . . 1
. (41)Точное построение конечномерных неприводимых представлений 343
В представлении g Tg = g генератор Xik однопараметри-ческой подгруппы gik представляется кососимметрической пХп-матрицей с элементами (Xik)u. = —(Xik)ki = 1 и нулями на остальных местах. Поэтому генераторы О (п) можно выразить следующим образом через генераторы eik [соотношение (4)] группы GL (ti, R):
Xih^eik-Cki. (42)
Коммутационные соотношения для генераторов Xik могут быть получены из коммутационных соотношений для eik:
\X-ik> xIml = ^hiXim -j- bimxkl — SkmXit — ЬаХш. (43)
Как и в случае и (п), построение неприводимых представлений о (ti) опирается на следующие два результата:
1. Конечномерное неприводимое представление алгебры Ли о (п), п — 2v или п — 2v +1, однозначно определяется старшим весом т = (ть т2, ..., mv) с целочисленными или пол у цел счисленными компонентами, удовлетворяющими условию
1° для ti = 2v : Zn1 > m2 > • • • > mv> | rriv |,
2° для ti = 2v -j- 1 : mx > m2 > • • • ^ > mv > 0
(см. теорему 8.5.2).
2. В разложение неприводимого конечномерного представления о (ti) каждое неприводимое представление подалгебры о (п—1) входит однократно, причем компоненты Pi старшего веса этих представлений подчиняются условиям
1° для п = 2v:
Щ > P1 > т2 > рг > • • • > mv_x > /Vi > I mv I. (44)
2° для п = 2v -f 1:
mt > Q1 > т2 > Q2 > • • • > mv qv>- —mv
(см. теорему 8.8.2).
Построение неприводимых представлений алгебры Ли (43) будет проведено в два шага:
1. Построение множества ортонормированных состояний, связанных с данным старшим весом.
2. Определение действия генераторов Xik на базисные состояния и проверка коммутационных соотношений (43).
Компоненты старшего веса обозначаем через
fn = (mlt2k+1, т,,2Ш, . . ., mA.+i,24+i), (45)
где п четное (n = 2k + 2), и через
т=.(тъ2Ь т% я/,, . . ., mk,.,k), (46)
где п нечетное (п = 2k + 1).344
Г лава 5
Заданному старшему весу сопоставляем схему Гельфанда— Цетлина т. Повторяя рассуждения, проведенные для U (п), и используя соотношения (44), мы заключаем, что схемы имеют вид: для четного п (п = + 2)
raI, 2А+1 т2, 2/.-+.1 '¦" raA1 2ft+l raZifj1 2ft+J
т
'"і, їк
/'^I1 2/._2
raI12А-3
raA, 2к тк, 2ft-1 " raA-I1 2А-2 ' raA-I1 2А-3
яг.
Itll
т,
т,
¦гз
т
12
т.
(47)
для нечетного п (п -
raI1 2А
raI, 2';-1
m
2? + 1)
"»,.aft ••
Wi9
afr-l
raA-I1 24 raft-l, 2А-1
тк, 2А raA1 2А-1
raI1 2А-2
/И
1, 2А-3
raA-I1 2ft-2 raA-I1 2 А—З
m
14
rti
13
m24
ra23
(48)
га12 "111
Схемы (47) или (48) определяются верхней строкой, которая содержит фиксированные компоненты старшего веса неприводимого представления. При п = 26 + 2 числа ти в других строках подчиняются неравенствам [см. соотношение (44) ]
raI1 2А+1 > mU 2ft "г2, 2А+1 5"- т2, 2А > • • • > "7A, 2А+1 "гА, 2А > I "W1 2ft+l|> raI1 2А > raI1 2 A-I > 2 V > /«2, 2А-1 > • • •> raA, 2А-1 ^ ""raA1 2ft. (49) raI1 2А-1 > "»і, 2ft—2 > "'г, 2ft-I > • • • > raA-I, 2ft—2 > I "iA1 2A-1 I и т. д.; для произвольной строки
"гі>2р+1 га/, 2р '"i+li 2/НІЇ і — 1, 2, ..., р 1,
m
Я. 2Р+1 ^s- тр, 2р >
m
р+1, 2Р+1 I>
mi, 2р ,ПІ, 2р-1 Sb ra(+i,:
1, 2, . . .. р-1,
т„
р. 2р
> т
р. 2р -1
>
-пг
р, 2р-Точное построение конечномерных неприводимых представлений 345
Числа т„- в /-й строке представляют собой компоненты старшего веса подалгебры о (/ + 1). Связанные с данной схемой числа Шц являются одновременно все целыми или все полуцелыми в отличие от старшего веса группы U (п), где все mf/ были целыми.