Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Я TJl
" эрмитовыми операторами. Пространство Hm", в котором реализовано представление (14)—(19), по определению неприводимо. Независимое формальное Точное построение конечномерных неприводимых представлений 339
доказательство неприводимости следует из того факта, что схема
т =
т
In
т о
"hn
т„
In3ll
т
/1-ї, п
Wn-X. п т„,
т„
т
3 п
т„
т„
т„
т„
является единственным инвариантным вектором подгруппы Z (т. е. А\т = 0 для р > q), и из следствия 2 теоремы 8.2.2.
Пример 1. Наиболее простая схема Гельфанда—Цетлина получается в случае, когда все компоненты старшего веса равны между собой:
"hn " "Чп =•••== тпп = т. (29)
В этом случае в силу неравенств (12) все остальные входящие в схему величины также равны т. Таким образом, получаем одномерное представление U (п), которое имеет вид
с/(п)эё^тг ^idetgr- (30)
Пример 2. Схема Гельфанда—Цетлина для группы U (3). (Последняя является важной группой высшей внутренней симметрии фундаментальных частиц; гл. 13.) Состояния, на которые натягивается пространство неприводимого представления группы U (3), можно нумеровать при помощи собственных значений четырех коммутирующих операторов, именно /2, /з, связанных с подгруппой SU (2), а также YuB. Оказывается, схемы Гельфанда— Цетлина в точности соответствуют физическим состояниям, нумеруемым этими квантовыми числами. Выражая операторы Я, I3 и Y через операторы Aki подгруппы U (2) и используя формулы (14), (15) и (16), получаем
in
I 4-
т„
г Y 4- В I \
Шо
Y 4- в
/3-Ь
Y-VB
т13 f- m23 4 mss = 3?. Величину В можно интерпретировать как барионное число. Мы видим, что для определенных ImY существует 2/4-1 схема 340
Г лава 5
с различными I3. Компоненты старшего веса алгебры и (3) также можно выразить через физические величины. Действительно, пусть Yh — наивысшие возможные значения Y, a Ill — соответствующее (единственное) значение /; тогда из (8) имеем
ml3 = В + і Yh + tri23 = В f -і- Yh — /,„ т33 = B- Yh.
(31)
Из неравенств (12) и формул (31) следует также, что неприводимые представления с одинаковыми Yh и Ih, но различными значениями барионного числа В, имеют одинаковые размерности.
Теперь мы в состоянии дать решение задач, перечисленных в введении.
1. Размерность пространства Я'"" неприводимого представления находится по формуле Вейля [см. соотношение (8.8.30) ]
П (Ii-If)
"-ifoRP <32>
i<j
где
= + Ij = tl j.
2. Максимальный набор коммутирующих операторов состоит из инвариантных операторов следующей цепочки подалгебр:
U(n)ZDU(n— I) ZD --ZD и(2) ZDU(I), (33)
т. е. он состоит из (n2 -J- я)/2 операторов г г г г
1/1 і "^2/гі • • -I п—1» ti і *-пп cl, /1—1» • • -i сп_ъ „_! ^
С\2, C22 Cn
Здесь
cPk=Ki2Ki ¦ ¦ ¦ A'?iAb P=1'2'--" p^k' (з5)
где Aj — генераторы gl (k, R), а суммирование по повторяющимся индексам производится от 1 до k.
3. Собственные значения любого из этих операторов были выражены явно через старшие веса в гл. 9, § 4. Например,
к к Cl, к -= Zi m,-, k C2, к = Y1 т;, к (тіу к -f п-j- 1 — 2t) и т. д. (36)
t=i I^i Точное построение конечномерных неприводимых представлений 341
4. Матричные элементы генераторов алгебры Ли и (п) следуют из равенств (14)—(16) и (6). Например, матричные элементы генераторов А /ч равны
а-і
(m', Л*.*_іт)= Ц ol_i(m)6m/ ,, k = 2, 3.....n-l. (37)
/=1 A-I'
Мы видим, что Л имеет неисчезающие матричные элементы только между соседними схемами т и т'. Пользуясь рекуррентными формулами (13), можно определить действие любого генератора Aik на любую схему т. Точные формулы даны в гл. 11, § 8 [соотношения (15)—(24) ] как для компактных, так и для некомпактных генераторов алгебры Ли и (р, q).
5. Пусть g -*¦ Tg — представление, сопряженное представлению g Tg группы U (п). Тогда в силу (5.1.14) 2° получаем для
эрмитовых генераторов Mik
Mik = (-MlkY. (38)
Таким образом, для U (п), используя (6), мы видим, что представление сопряжено данному, если генераторы Aik(=Mik — іMlk) удовлетворяют условию (38). Воспользовавшись (37) и соотношениями (14) и (19), можно проверить, что неприводимые представления, задаваемые при помощи тп = (т1п, тгп, ..., т,„) и т„ = = (т1п, т2„, ..., тпп), взаимно сопряжены тогда и только тогда, когда
тіп — —тп+і-і, пу ' = !. 2, . . п, (39)
а представление т является самосопряженным, если mtn~ т„+1_г,(1, j = l, 2, . ., п.
6. Совокупность всех представлений, задаваемых старшим весом тп = (т1п, т2п, ..., тпп), можно разбить на классы эквивалентности проективно эквивалентных представлений, получаемые следующим образом. С данным представлением, задаваемым старшим весом тп, связываем подкласс всех неприводимых представлений, определяемых при помощи тп, для которых компоненты тіп старших весов удовлетворяют условию
Щп - Щп = s. (40)
где s — любое целое число. На основе формулы Вейля (32) легко проверить, что представления, связанные с произвольным старшим весом тп, удовлетворяющим условию (40), имеют ту же размерность, что и исходное представление, связанное с тп. Кроме того, 342
