Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Б. Комментарии
1. Понятие тензорного оператора впервые введено Вигнером [851 ]. Техника тензорных операторов успешно использовалась Рака, Элиоттом, Яном и другими в теории атомных и ядерных спектров (ссылки см. в сборнике [118]). Недавно эта техника была использована также в различных задачах теории элементарных частиц и, в частности в подходе алгебры токов (см., например, [3]).
2. Различные обобщения теоремы Вигнера—Эккарта дали Шарп [758], Стоун, Биденхарн [116], Дин, Жинибр [330], Mo-шинский и Климык [469].
3. Выбор генераторов центра Z обертывающей алгебры E не единствен. Например, в случае алгебры и (п) вместо генераторов (4.6) можно взять операторы
Cp = A^ ... AiiI = TrAp. (6)
Они являются инвариантными операторами для и (п) в силу теоремы 1.1. Используя коммутационные соотношения (4.2), можно выразить операторы Казимира Cp через Cp, Cp-ь ..., С\. Например, в случае р = 3 получаем
Сз-C3-ZtC2H-(C1)2. (7)
Часто используются также симметризованные операторы Казимира вида
Cp—k-ri&A"'- (8)
где символ P обозначает суммирование по р\ перестановок генераторов в скобках (см., например, [107, 302 ]). Однако формула (1) для операторов Казимира, по-видимому, наиболее удобна для вычисления спектров инвариантных операторов.
4. Инвариантные операторы С и С' в ? всегда коммутируют. Но это свойство не справедливо для произвольных инвариантных операторов. Например, операторы г и d/dr, г = |лс|, являются инвариантными операторами для группы вращений, действующими в H = L2 (Rs), но они не коммутируют.
5. Существуют два важных результата, касающихся структуры кольца инвариантных операторов в обертывающей алгебре, реализованных в пространстве H = L2 (X), где X — симметрическое пространство. Тензорные операторы, обертывающие алгебры и обертывающие поля 331
Теорема Гельфанда—Шевалле. Число генераторов кольца инвариантных операторов, реализованных в L2 (X), равно рангу симметрического пространства X.
(Доказательство см. в [390].)
Таким образом, в частности на симметрических пространствах ранга один центр обертывающей алгебры порождается единственным элементом. В этом случае имеет место
TeOPEMA 2. Кольцо инвариантных операторов, реализованных в L2 (X), где X — симметрическое пространство ранга один, порождается оператором Лапласа—Бельтрами
A (X) = |ёГ/^«Р(л-)| g|'/.op> (9)
где gap (х) — левоинвариантный метрический тензор на X и
g (а) = det Igv4., (а)].
(Доказательство см. в [390].)
6. Дадим теперь важную так называемую теорему коммутативности Сигала, касающуюся структуры алгебры инвариантных операторов в L2 (G, р). Пусть G — унимодулярная локально компактная группа с мерой Хаара р, и пусть g Tg и g Tg — левое и правое регулярные представления группы G в L2 (G, р).
Обозначим через (или замыкание в слабой операторной топологии множества всех линейных комбинаций из Tg (или из Tg). Тогда имеет место следующая теорема.
Теорема 3. Если G унимодулярна, то мы имеем
Sl'L = SlR, SIr = (10)
и = n ^fi = П == n (H)
(Доказательство см. в [745] или в [574], гл. 6, § 7.)
§ 7. Упражнения
§ 1.1. Пусть G = SO (3). Покажите, что эрмитово сопряжение тензорного оператора Ум, заданное формулой
(Yjm)' = (-l)MYiM,
также является тензорным оператором.
§ 1.2. Докажите теорему Вигнера—Эккарта для произвольных компактных групп.
Указание. Разложите на неприводимые компоненты то представление группы G, по которому преобразуется произведение ^mUт\, и используйте метод доказательства теоремы 2. 332
Г лава 5
§ 2.1. Покажите, что обертывающая алгебра алгебры Гейзенберга [P, Q] = I имеет тривиальный центр.
§ 3.1. Покажите, что центр обертывающей алгебры евклидовой алгебры Ли Tn X) ьо (п) порождается \п/2\ элементами.
§ 3.2. Найдите генераторы центра обертывающей алгебры полупрямого произведения C3 х) SU (3).
§ 3.3. Покажите, что следующие операторы
C2 =^-MllvMVV = J2-N*,
C2 = - - j- = J-N,
где J = (M2a, M31, M12) н N = (M01, M02, Mos), порождают центр обертывающей алгебры группы Лоренца.
§ 5.1. Является ли оператор спиральности J-p/\p\ элементом обертывающего поля группы Пуанкаре?
§ 5.2. Разработайте расширение понятия обертывающего поля евклидовой алгебры Ли, которое содержало бы инвариантные операторы вида |r|, l/|r|, d/d|r| п т. д.
§ 5.3. Пусть g ->- Tg — квазирегулярное представление группы SO (3) в пространстве H = L2 (X), X = SO (3)/S0 (2). Покажите, что не существует псевдодифференцпальных инвариантных операторов на Н.
§ 5.4. Найдите генераторы центра обертывающего поля D (L) для полупростых алгебр.
§ 5.5. Пусть П = Ti у) SO (3, 1), N — множитель Ивасавы группы SO (З, 1) и G0 = T4 х) N. Покажите, что в пространстве H — L2 (X), X = П/G0, существует больше чем два инвариантных дифференциальных оператора группы П.
§ 6.1. Найдите спектры операторов Казимира для неприводимых представлений исключительных алгебр Ли.
§ 6.2. Найдите производящую функцию (6.5) для спектров операторов Казимира исключительных алгебр Ли. Глава 10
