Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Как мы уже упоминали, для О (2n + 1) и О (2п) кроме фундаментальных тензорных представлений {Iа} имеем еще фундаментальные спинорные представления, старшие веса которых равны
(4"> 4") для 0(2« + 1), .(4-' •••' 4"' —4") для °(2п)- Тензорные операторы, обертывающие алгебры и обертывающие поля 321
Спектры операторов Cp для этих представлений задаются формулой
С,
га [пР-1 - (—4-)""1] для 0(2п+
(n [(n — 4~У 1 ~ (--г)" 1J для О (2га).
§ 5. Обертывающие поля
Некоторые физические наблюдаемые описываются операторами, которые являются отношениями полиномов от генераторов алгебры Ли. Например, квадрат оператора релятивистского спина имеет вид
= i WWV1 (1)
где Pм, Ma? — генераторы группы Пуанкаре П. Величины типа (1) не лежат в обертывающей алгебре группы П. Последняя состоит только из полиномов от генераторов. Поэтому мы вводим понятие обертывающего поля алгебры Ли, которое объединяет естественным образом отношения полиномов от генераторов алгебры Ли. Обертывающее поле имеет также другие интересные свойства: оно слабо зависит от первоначальной алгебры Ли и может быть порождено алгеброй Гейзенберга plt qu ..., рп, qn и некоторым числом коммутирующих операторов C1, ..., Ck. Этот результат важен для теории динамических групп в физике частиц.
Кольца и поля отношений
Начнем с анализа некоторых свойств колец и полей. Напомним, что кольцо R — это абелева группа относительно сложения и (в общем некоммутативная) мультипликативная полугруппа с единичным элементом или без него. Говорят, что элемент b из R регулярен (или не делитель нуля), если не существует с ? R, с =f 0, такого, что cb = 0 или be = 0.
Кольцо R называется левым нётеровым, если каждая цепочка (левых) идеалов из R
Ri (? #2 (Є • • ¦ (2)
обрывается *) (т. е. существует индекс га, такой, что Rn = Rm =
Кольцо R называется (левым) кольцом Оре, если для каждых a, b ? R, где b регулярен, существуют a', b' ? R, где Ъ' регулярен, такие, что b'a = а'Ь.
1J R1 ?= R2 означает, что R1 является собственным идеалом в R2.
H А. Барут, Р. Рончка 322
Г лава 5
Введем теперь важное понятие отношений. Пусть (а, Ь) и (с, d) — две упорядоченные пары из RxR, и пусть а и с — регулярны. Мы говорим, что (а, Ь) эквивалентно (с, d), если существуют х, у (z R, такие, что
Легко проверить, что все аксиомы эквивалентности выполнены.
Отношение, сопоставляемое с кольцом Ope R, определяется как упорядоченная пара (a, b), a, b ? R, где а регулярно. Причем для отношений должно выполняться приведенное соотношение эквивалентности. Отношение (a, b) мы обозначим символом сГ1Ь. Подобным образом определяется правое отношение, обозначаемое ab"1.
Далее в множество всех отношений следующим естественным образом вводятся операции сложения, вычитания, деления и умножения:
Напомним, что кольцо R с единичным элементом I называется полем, если для любого а ? R, a =f 0, существует а1, такое, что аа"1 = ala = 1. Мы видим, что множество всех отношений, сопоставляемое с кольцом Ope без делителей нуля и наделенное операциями (4)-(6), образует поле, которое называется полем отношений.
Пример 1. Пусть R — кольцо всех четных целых чисел: R = = \±2п, п = О, 1, ...}. Каждый элемент а ? R, а + 0, регулярен в R. Если а — 2п, b = 2т, т ф 0, то существуют а' (равное, например, 2п) и b' =f О (равное, например, 2т), такие, что b'a — a b. Следовательно, R — кольцо Оре.
Пусть (a, b) = (2п, 2т), a =f 0. В силу условия (3) любая пара (с, d) = (2п', 2т'), эквивалентная (а, Ь), удовлетворяет условию
Итак, абстрактное частное а~1Ь соответствует классу всех пар (2п', 2т') вида (ха, xb), х ? R, которые имеют постоянное отношение т'/п' = Ыа. Следовательно, абстрактное поле отношений, определенное соотношениями (4)—(6), соответствует в настоящем случае полю рациональных чисел.
(ха, xb) = (yc, yd).
(3)
(а-% ± йгЧЪ) = а1 (Ь, ^ Ь2), (а%)-1 (а-%) = Ы\, {alX) (а?Ы) = (K1U1)-1 (al%).
(4)
(5)
(6) Тензорные операторы, обертывающие алгебры и обертывающие поля 323
Кольцо и поле Гейзенберга
Введем теперь поле, сопоставляемое с алгеброй Гейзенберга и порожденное нётеровым кольцом Л и р, q.
Пусть А — произвольное нётерово кольцо над R или С без делителей нуля. Через Rn (Л) мы обозначаем алгебру над А с In генераторами рх.....рп, qlt ..., qn, удовлетворяющими коммутационным соотношениям
[Рі, Ц/] = в//Л [Pi, Pi] = 0. Iqh 9/1 = 0. (8)
Введем в Rn (Л) базис.
Утверждение 1. Алгебра Rn (Л) является свободным А-модулем и имеет базис, состоящий из всех одночленов вида
(Piti ¦ • • (Pnfn (Qi)' •' (QnYn = Р%(°> (9)
где р\т = Ir и qT = Ir.
доказательство. Покажем сначала, что одночлены (9) порождают Л-модуль Rn(A). Пусть [Rn (A) ]k обозначает множество всех элементов из Rn (А), которые могут быть записаны в виде полиномов от \р, q\ с коэффициентами из Л, имеющих степень <k. Ясно, что
Rn(A) =\][Rn(A))k. (Ю)
k
Предположим, что это предположение верно для k < k0. В силу коммутационных соотношений (8) мы можем привести любой одночлен степени k0 к одночлену вида (9) (т. е. к виду, в котором все р на левой стороне) по модулю [Rn (А) \кс—2- Поскольку предположение, очевидно, верно для k = 0 и k = 1, высказанное в начале доказательства утверждение следует из метода индукции. Покажем далее, что одночлены (9) линейно независимы над Л. Пусть X =aktPmqlt) = 0, где akl ? А, и по крайней мере одно из а.,, не равно 0. Вводим лексикографическое упорядочение в множества (k, I) = (ki, ..., kn, Ii, ..., In). Пусть (k0, /0) — наибольшее множество (согласно лексикографическому упорядочению), для которого аы 0. Простым вычислением проверяется, что
