Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
П айк°1 (—qt) UdfiPiX =UkiUil OkoIli Ф 0. (11)
fei U=1
11* 324
Г лава 5
Это противоречит равенству х = 0. Поэтому ptk)qli) не могут быть линейно зависимыми.
Утверждение 2. Rn (Л) — кольцо Оре.
Доказательство. Введем в Rn(A) фильтрацию, заданную формулой
[R11 (Л)J0 с [Rn (Л)Ь с [Rn (Л)]2 с . . ., (12)
где Rn (Л)/. — те же объекты, что и в доказательстве утверждения 1. Рассмотрим градуированную кольцевую структуру, заданную формулами
grWRn (А) = (? (A)MRn (А)},,^ (13)
grRn(A) = ? grWR11(A).
В силу утверждения 1 получаем взаимно однозначное соответствие
gr Rn(A)~R[p, <71, (14)
где R [р, q \ — кольцо полиномов от (р, q). Ясно, что R [р, q] — нётерово кольцо без делителей нуля (так как оно является кольцом полиномов). Следовательно, gr Rn (Л) также нётерово кольцо. Поэтому в силу утверждений 1 и 2 из приложения А.2 заключаем что Rn (А) — кольцо Ope без делителей нуля.
Благодаря утверждению 2 мы сопоставляем теперь с кольцом Rn (Л) поле отношений Dn (Л). В последующем основное кольцо Л будет кольцом полиномов над множеством k неизвестных (C1,
C2, ..., Ck\ = C с коэффициентами из множества К вещественных или комплексных чисел. Положим
Rn,k(K) = Rn(A[C\), (15)
Dntk(K) = поле отношений, сопоставляемое с Rntk(K)- (16)
Следующий рисунок иллюстрирует связь между различными объектами. Тензорные операторы, обертывающие алгебры и обертывающие поля 325
Коымутативное
Обертывающее поле алгебры Ли
Пусть L — алгебра Ли над множеством К вещественных или комплексных чисел, и пусть E (L) — обертывающая алгебра для L. Имеет место следующее утверждение.
Утверждение 3. E (L) — кольцо О ре.
Доказательство. Введем на E(L) фильтрацию, заданную формулой
?<°> с ?<»> с= ?<2> с. . ., (17)
где ?(fc> обозначает множество всех элементов из Е, которые могут быть записаны как полиномы от генераторов алгебры L с коэффициентами из К и имеют степень </г. Рассмотрим соответствующую градуированную кольцевую структуру, определенную формулами
gr *? = ?<»>/?<*-!), (18)
OO
gr?=?gr*?. (19)
Ввиду утверждения 1 и определений (18) и (19) мы имеем взаимно однозначное соответствие
gr E-R (X1, . . ., Xm), (20) 326
Г лава 5
где R (X1, ..., Xm) — кольцо всех полиномов от т переменных, т — dim L. Следовательно, gr E — нётерово кольцо без делителей нуля (так как оно является кольцом полиномов). В силу утверждений 1 и 2 из приложения А.2 заключаем, что E — кольцо Ope без делителей нуля.
Вышеизложенное свойство позволяет построить поле отношений D (L) для E (L). Это поле называется обертывающим полем для L или просто полем Ли.
Мы видим, что понятие поля отношений позволяет естественным образом рассматривать отношения произвольных элементов обертывающей алгебры заданной алгебры Ли L. Если L — алгебра Пуанкаре, то элементы вида (1) лежат в поле D (L) алгебры L.
Это не единственное использование понятия поля D (L), сопоставляемого с E (L). Интересно, что свойства поля D (L), в противоположность свойствам E (L), слабо зависят от первоначальной алгебры Ли. Мы можем грубо сформулировать это так:
Поле D (L) алгебры Ли L изоморфно полю Гейзенберга Dn k (К).
Докажем этот результат сначала для поля D (L) полной линейной алгебры gl (п, С).
ТЕОРЕМА 4. Обертывающее поле D (gl (п, С)) алгебры Ли gl (п, С) иЗОМОрфНО ПОЛЮ Гейзенберга Dn(n-\M1,n (С).
доказательство. Покажем сначала, что если Ln — алгебра Ли всех nXn-матриц с нулями в последней строке, то
D(Ln) = D(nftUn_lho(C). (21)
Докажем это индукцией по п. Пусть ец, і — 1, 2, ..., п\ j = = 1, 2, ..., п 4-І, — естественный базис в Lm, заданный формулой (1.1.11). Положим qi = ei, n+i, Pi = eltiq1A, eik = = eikq^Qk (суммирование отсутствует).
Поскольку det qt = 0, величина 971 не определена как матрица, а определена как формальная величина, правила действия над которой подчиняются соотношению эквивалентности отношений. Прямым вычислением можно проверить, что
[<7м 9/1==0. [plt P7I = O, [Pt, q,] = SijI, (22)
Ieik, q,] = bk,qn \~еш P,] = SkjPj (суммирование отсутствует).
(23)
Действительно, например
9/1 -= 9(9/ — 9/9/ = сІ, „л S';, „+і — <?/, П+^'І, ,„ і =
= 6/, ,ч-іеі, ті — 6«, n^?], «+x == 0. (24) Тензорные операторы, обертывающие алгебры и обертывающие поля 327
Согласно определению отношений, из этого соотношения следует
QiQl1 = Qi1Qh (25)
т. е. qj1 и <7,- коммутируют.
Подобным образом вычисляем
[[И, qj] = Cuqi1Qj — QfiaCfi1 = euq^qj1 — Cji n+ieuqV =
= ei i?j, m+i qj1 — б і, „+je JiLfix = SijCit m+itfi1 = SijqiqV = 6,-//
(здесь суммирования отсутствуют). Если коэффициенты Cik матрицы с удовлетворяют условию
S Cik = О, і = 1,2,.. ., п, (26)
к
то из (23) мы видим, что оператор а (с) = C^elft коммутирует со всеми операторами р,- и qt. Пусть L обозначает множество всех матриц с порядка п, матричные элементы которых удовлетворяют условиям (26). Множество L изоморфно Ln. В самом деле, если Iij — матричные элементы элемента I ? Ln, то соответствие
Cij = Iii, і = 1, 2, . . ., п - 1, /=1,2,.. ., п, (27)
