Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Вернемся к интегралу ^ со. Интеграл корректно продолжается
CJ(S)
вдоль любого пути на C1Xjfj, . . ., tN\, начинающегося в точке /. Для этого нужно непрерывно деформировать кривую cr(f) в линии уровня над! точками пути; класс одномерных гомологий кривой, лежащей на линии уровня, соответствующей последней точки пути, определяется путем и не зависит от способа деформации. Если два пути с одинаковыми концами гомотопны в C1Xjf1, . .., tN\, то значения продолжений интеграла в конечной точке совпадают. Таким образом, интеграл—многозначная голоморфная функция на
C1Xjft, tN\.
Ветвление интеграла определяется преобразованием монодромии в одномерных гомологиях линии уровня f. Каждому классу гомотопных замкнутых путей в C1Xjfl, ..., tN} с началом в точке t соответствует линейный автоморфизм монодромии одномерных гомологий линии уровня f; он определяется непрерывной деформацией циклов в линии уровня над точками пути (см. главу 1). Если My—автоморфизм монодромии, отвечающий пути у, то продолжение [интеграла вдоль пути у по определению равно ^ со, где
M yO{t)
o(f)—класс гомологий, определяемый кривой о (/).
Для выбранного нами примера ограничение многочлена на дополнение к линии нулевого уровня—гладкое локально тривиальное расслоение. Таким образом, рассматриваемый эллиптический
интеграл J у dx—многозначная голоморфная функция на C1XO. Все замкнутые пути в Сх\0 кратны одному, обходящему начало координат один раз против часовой стрелки. Поэтому для выяснения ветвления рассматриваемого интеграла нужно выяснить, как устроено линейное преобразование монодромии, отвечающее указанному пути. В нашем примере неособая линия уровня—это тор без точки. Его группа одномерных гомологий—двумерное векторное пространство.
Представим себе линию уровня f, т. е. кривую {(х, у) 6 C2 \y2jr +X3= t}, как двулистное накрытие над осью х-ов с ветвлением в кубических корнях из f. Проекции на ось х-ов циклов, задающих базис (а, Ь) одномерных гомологий, изображены на рис. 72, а. Диффеоморфизм монодромии, отвечающий обходу числа t вокруг нуля, можно задать формулами
(х, у) >—s- (ехр (2ш'/3) х, ехр (2л 1/2) у). § 10]
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ
201
Образ циклов изображен на рис. 72, б. Поэтому монодромии задается формулами M: (а, &)ь->(а—Ь, а). Теперь для описания ветвления интеграла голоморфной формы по циклам семейства, порожденного циклом er (?), достаточно знать разложение класса гомологий, заданного циклом о (t), по базису и знать интегралы формы по базисным классам.
Замечание. Для такой простой формы, как ydx, ветвление можно описать, не зная преобразования монодромии в гомологиях.
Отображение {х, у) t—» {tlizx, t1/2y) задает диффеоморфизм линии уровня 1 на линию уровня t. Ограничение формы ydx на линию уровня t, перенесенное с помощью этого диффеоморфизма на линию уровня 1, после умножения на 5/6 равно ограничению формы ydx на линию уровня 1. Поэтому функция, заданная интегралом формы ydx по циклам семейства, равна const-где const — это интеграл формы по циклу семейства, лежащему на линии уровня 1.
В. Разложение интеграла в ряд. Мы выяснили, что интеграл полиномиальной формы по циклу, зависящему от параметра, является многозначной голоморфной функцией на C1Xl^1, . . ., Поэтому каждая ветвь этой функции в окрестности произвольного значения параметра, не являющегося исключительным, разлагается в ряд Тейлора. Мы докажем, что и в окрестности исключительного значения параметра интеграл разлагается в ряд. Однако теперь это — ряд по дробным степеням параметра, коэффициентами которого являются многочлены от логарифма параметра. Такой ряд сходится в каждом секторе малой окрестности исключительного значения параметра (сходимость ряда рассматривается в секторах, а не в полной окрестности, из-за присутствия логарифмов). В описании ряда важную роль играет преобразование монодромии, отвечающее обходу вокруг исключительного значения параметра. Так, показатели степеней параметра являются деленными на 2лі логарифмами собственных чисел преобразования монодромии, а степень любого многочлена от логарифма, являющегося коэффициентом ряда, всегда меньше, чем максимум размеров жордановых блоков с соответствующим собственным числом.
Сформулируем теорему. Для простоты обозначений предположим, что исключительное значение параметра равно нулю. Выделим в малой окрестности нуля сектор a ^ arg t ^b и для каждого от-
Рис. 72. 202 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
личного от нуля числа t из сектора выделим базис cr1 (/), . . ., crll(Z) целочисленных одномерных гомологий линии уровня t, непрерывно зависящий от t. Обозначим через M преобразование монодромии, отвечающее обходу параметра вокруг нуля против часовой стрелки. Теорема 2 (см. [14, 146, 154, 166, 185, 187]). В указанном
секторе вектор-функция I(t) = f ^ со, ..., $ ю \ разлагается
v*i (О <V) J
в ряд 2 ak, ata (In t)k. Ряд сходится, если модуль параметра
a, k
достаточно мал. Коэффициенты ряда—векторы пространства С1*. Вещественные части всех чисел а больше некоторой константы. Каждое число а обладает свойством: ехр (2ш"а)—собственное число оператора М. Коэффициент ak. а этого ряда равен нулю, если у жордановой формы оператора M нет блоков размеров k +1 и более с собственным числом ехр (2л;іа).
